Постройте в одной системе координат графики функций и сделайте вывод о взаимном расположении построенных графиков: a) y = 1/x и y = - 1/x б)y = 5/x и y = - 5/x в)y = 2/x и y = -…

Для решения задачи построим графики указанных функций и проанализируем их взаимное расположение в одной системе координат.

1. Графики функций

Мы будем строить графики следующих функций:

• a) \( y = \frac{1}{x} \) и \( y = -\frac{1}{x} \)
• б) \( y = \frac{5}{x} \) и \( y = -\frac{5}{x} \)
• в) \( y = \frac{2}{x} \) и \( y = -\frac{2}{x} \)
• г) \( y = \frac{3}{x} \) и \( y = -\frac{3}{x} \)

Эти функции относятся к гиперболам, которые имеют особые свойства на координатной плоскости.

2. Построение графиков

Функция: \( y = \frac{1}{x} \)

• Для положительных \( x \):

  • При \( x = 1 \), \( y = 1 \)
  • При \( x = 2 \), \( y = 0.5 \)

• Для отрицательных \( x \):

  • При \( x = -1 \), \( y = -1 \)
  • При \( x = -2 \), \( y = -0.5 \)

Функция: \( y = -\frac{1}{x} \)

• Для положительных \( x \):

  • При \( x = 1 \), \( y = -1 \)
  • При \( x = 2 \), \( y = -0.5 \)

• Для отрицательных \( x \):

  • При \( x = -1 \), \( y = 1 \)
  • При \( x = -2 \), \( y = 0.5 \)

3. Взаимное расположение графиков

1. a) Графики \( y = \frac{1}{x} \) и \( y = -\frac{1}{x} \):

   • График \( y = \frac{1}{x} \) расположен в правом верхнем и левом нижнем квадрантах.
   • График \( y = -\frac{1}{x} \) располагается в левом верхнем и правом нижнем квадрантах.
   • Эти графики симметричны относительно начала координат (точка (0,0)), и пересекаются в бесконечности, но не имеют общих точек пересечения для конечных значений \( x \).

2. б) Графики \( y = \frac{5}{x} \) и \( y = -\frac{5}{x} \):

   • Аналогично, график положительной функции располагается в тех же квадрантах, как и предыдущий пример, только с большим масштабом (5:1).
   • Графики также симметричны относительно начала координат.

3. в) Графики \( y = \frac{2}{x} \) и \( y = -\frac{2}{x} \):

   • Здесь графики также будут располагаться в тех же квадрантах, как и в предыдущих примерах, с масштабом 2:1.

4. г) Графики \( y = \frac{3}{x} \) и \( y = -\frac{3}{x} \):

   • И здесь мы наблюдаем те же свойства: графики в чётных квадрантах, симметрия относительно начала координат.

4. Выводы

• Все указанные функции являются гиперболами, которые в зависимости от знака \( y \) размещаются в разных квадратах координатной плоскости.
• Графики положительных и отрицательных функций симметричны относительно начала координат и не пересекаются.
• Все функции имеют вертикальную асимптоту на оси \( y \) (при \( x=0 \)) и горизонтальную асимптоту на оси \( x \) (при \( y=0 \)).

Для более глубокого понимания и визуализации я рекомендую построить графики на графическом калькуляторе или программном обеспечении для математической графики.