Укажи решение неравенства ( x − 3 ) ( 2 x + 7 ) > 0 (x−3)(2x+7)>0 . 1) ( − 3 , 5 ; 3 ) (−3,5;3) 2) ( − 3 ; 3 , 5 ) (−3;3,5) 3) ( − ∞ ; − 3 , 5 ) ∪ ( 3 ; + ∞ ) (−∞;−3,5)∪(3;+∞) 4)…

Чтобы решить неравенство \((x - 3)(2x + 7) > 0\), следуем пошаговым инструкциям. Давайте разберёмся в этом процессе.

Шаг 1: Найдение корней

Сначала найдем корни уравнения \((x - 3)(2x + 7) = 0\).

1. \(x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3\).
2. \(2x + 7 = 0 \Rightarrow 2x = -7 \Rightarrow x = -\frac{7}{2} = -3.5\).

Таким образом, корни уравнения \(x = 3\) и \(x = -3.5\).

Шаг 2: Определение интервалов

Теперь на числовой прямой у нас есть два корня, которые делят её на три интервала:

1. \((-∞, -3.5)\)
2. \((-3.5, 3)\)
3. \((3, +∞)\)

Шаг 3: Проверка знаков

Чтобы определить, где произведение \((x - 3)(2x + 7)\) больше нуля, нужно проверить знак на каждом из интервалов, выбрав тестовые значения:

1. Интервал \((-∞, -3.5)\):

   • Выберем \(x = -4\): \[ (-4 - 3)(2(-4) + 7) = (-7)(-8 + 7) = (-7)(-1) > 0 \] → Положительный знак.

2. Интервал \((-3.5, 3)\):

   • Выберем \(x = 0\): \[ (0 - 3)(2(0) + 7) = (-3)(7) < 0 \] → Отрицательный знак.

3. Интервал \((3, +∞)\):

   • Выберем \(x = 4\): \[ (4 - 3)(2(4) + 7) = (1)(8 + 7) = (1)(15) > 0 \] → Положительный знак.

Шаг 4: Итоговое решение

Теперь можем записать решение неравенства \((x - 3)(2x + 7) > 0\):

• Положительные интервалы: \((-∞, -3.5)\) и \((3, +∞)\).

Запишем это в виде объединения интервалов: \[ (-∞, -3.5) \cup (3, +∞) \]

Ответ

Таким образом, решением неравенства \((x - 3)(2x + 7) > 0\) является: \[ (-∞, -3.5) \cup (3, +∞) \]

Это означает, что неравенство выполняется для всех \(x\) в указанных интервалах.