Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, нам нужно показать, что его противоположные стороны равны или что середины его диагоналей совпадают. Мы воспользуемся вторым методом — проверим, совпадают ли середины диагоналей AC и BD.
Давайте начнем с определения координат вершин:
- A(0; 0; 0)
- B(1; 0; 2)
- C(2; 1; 2)
- D(1; 1; 0)
Теперь найдем середины диагоналей AC и BD.
1. Находим середину диагонали AC
Середина отрезка AC определяется по формуле:
[
M_{AC} = \left( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}, \frac{z_A + z_C}{2} \right)
]
Подставим координаты точек A и C:
- (x_A = 0), (y_A = 0), (z_A = 0)
- (x_C = 2), (y_C = 1), (z_C = 2)
Теперь вычислим:
[
M_{AC} = \left( \frac{0 + 2}{2}, \frac{0 + 1}{2}, \frac{0 + 2}{2} \right) = \left( 1, 0.5, 1 \right)
]
2. Находим середину диагонали BD
Точно так же найдем середину отрезка BD:
[
M_{BD} = \left( \frac{x_B + x_D}{2}, \frac{y_B + y_D}{2}, \frac{z_B + z_D}{2} \right)
]
Подставим координаты точек B и D:
- (x_B = 1), (y_B = 0), (z_B = 2)
- (x_D = 1), (y_D = 1), (z_D = 0)
Теперь вычислим:
[
M_{BD} = \left( \frac{1 + 1}{2}, \frac{0 + 1}{2}, \frac{2 + 0}{2} \right) = \left( 1, 0.5, 1 \right)
]
3. Сравниваем середины
Мы получили:
- (M_{AC} = (1, 0.5, 1))
- (M_{BD} = (1, 0.5, 1))
Середины диагоналей AC и BD совпадают.
Вывод
Поскольку середины обеих диагоналей совпадают, мы можем заключить, что четырехугольник ABCD является параллелограммом.
