Докажите, что четырехугольник АВСД с заданными вершинами А(0; 0; 0), B(1; 0; 2), C(2; 1; 2), Д(1; 1; 0) есть параллелограмм.

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, нам нужно показать, что его противоположные стороны равны или что середины его диагоналей совпадают. Мы воспользуемся вторым методом — проверим, совпадают ли середины диагоналей AC и BD.

Давайте начнем с определения координат вершин:

• A(0; 0; 0)
• B(1; 0; 2)
• C(2; 1; 2)
• D(1; 1; 0)

Теперь найдем середины диагоналей AC и BD.

1. Находим середину диагонали AC

Середина отрезка AC определяется по формуле:

\[ M_{AC} = \left( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}, \frac{z_A + z_C}{2} \right) \]

Подставим координаты точек A и C:

• \(x_A = 0\), \(y_A = 0\), \(z_A = 0\)
• \(x_C = 2\), \(y_C = 1\), \(z_C = 2\)

Теперь вычислим:

\[ M_{AC} = \left( \frac{0 + 2}{2}, \frac{0 + 1}{2}, \frac{0 + 2}{2} \right) = \left( 1, 0.5, 1 \right) \]

2. Находим середину диагонали BD

Точно так же найдем середину отрезка BD:

\[ M_{BD} = \left( \frac{x_B + x_D}{2}, \frac{y_B + y_D}{2}, \frac{z_B + z_D}{2} \right) \]

Подставим координаты точек B и D:

• \(x_B = 1\), \(y_B = 0\), \(z_B = 2\)
• \(x_D = 1\), \(y_D = 1\), \(z_D = 0\)

Теперь вычислим:

\[ M_{BD} = \left( \frac{1 + 1}{2}, \frac{0 + 1}{2}, \frac{2 + 0}{2} \right) = \left( 1, 0.5, 1 \right) \]

3. Сравниваем середины

Мы получили:

• \(M_{AC} = (1, 0.5, 1)\)
• \(M_{BD} = (1, 0.5, 1)\)

Середины диагоналей AC и BD совпадают.

Вывод

Поскольку середины обеих диагоналей совпадают, мы можем заключить, что четырехугольник ABCD является параллелограммом.