Эта задача относится к комбинаторике, и мы можем решить её с помощью формулы сочетаний. Мы будем искать количество способов выбрать 11 учеников из 21.
Формула для вычисления количества сочетаний ( C(n, k) ) (где ( n ) — общее количество элементов, а ( k ) — количество выбираемых) имеет следующий вид:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}
]
Где ( n! ) (факториал ( n )) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до ( n ).
Итак, в нашей задаче:
- ( n = 21 ) (общее количество учеников)
- ( k = 11 ) (количество учеников, которых необходимо выбрать)
Подставляем эти значения в формулу:
[
C(21, 11) = \frac{21!}{11! \cdot (21 - 11)!} = \frac{21!}{11! \cdot 10!}
]
- Теперь мы можем вычислить ( 21! ), ( 11! ) и ( 10! ), но вместо того чтобы вычислять их все, мы можем сократить:
[
C(21, 11) = \frac{21 \times 20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12}{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}
]
- Теперь давайте решим это шаг за шагом:
- Сначала посчитаем числитель:
[
21 \times 20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 = 269128937220
]
- Затем посчитаем знаменатель:
[
11! = 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 39916800
]
- Теперь делим числитель на знаменатель:
[
C(21, 11) = \frac{269128937220}{39916800} = 675
]
Таким образом, количество способов, которыми классный руководитель может выбрать 11 учеников из 21, равно 675.
