В классе 21 учеников для участия в школьной эстафеты необходимо выбрать 11 школьников . Сколькими способами классный руководитель может сделать свой выбор
Эта задача относится к комбинаторике, и мы можем решить её с помощью формулы сочетаний. Мы будем искать количество способов выбрать 11 учеников из 21.
Формула для вычисления количества сочетаний \( C(n, k) \) (где \( n \) — общее количество элементов, а \( k \) — количество выбираемых) имеет следующий вид:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \]
Где \( n! \) (факториал \( n \)) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до \( n \).
Итак, в нашей задаче:
- \( n = 21 \) (общее количество учеников)
- \( k = 11 \) (количество учеников, которых необходимо выбрать)
Подставляем эти значения в формулу:
\[ C(21, 11) = \frac{21!}{11! \cdot (21 - 11)!} = \frac{21!}{11! \cdot 10!} \]
- Теперь мы можем вычислить \( 21! \), \( 11! \) и \( 10! \), но вместо того чтобы вычислять их все, мы можем сократить:
\[ C(21, 11) = \frac{21 \times 20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12}{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \]
- Теперь давайте решим это шаг за шагом:
- Сначала посчитаем числитель: \[ 21 \times 20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 = 269128937220 \]
- Затем посчитаем знаменатель: \[ 11! = 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 39916800 \]
- Теперь делим числитель на знаменатель: \[ C(21, 11) = \frac{269128937220}{39916800} = 675 \]
Таким образом, количество способов, которыми классный руководитель может выбрать 11 учеников из 21, равно 675.
