18. а) От острова, расположенного в 5 кас от пристани, отходит катер. До тех пор, пока катер не по- дойдёт к пристани, его расстояние до неё описывается формулой s (f) =…
18. а) От острова, расположенного в 5 кас от пристани, отходит катер. До тех пор, пока катер не по- дойдёт к пристани, его расстояние до неё описывается формулой s (f) = 5+8t-47t^2 , где s - расстояние в километрах, / - время в часах, прошедшее с момента отплытил. Зона видимости наблюдателя, находящегося в бухте, составляет 8 км. Сколько всего времени катер будет на- ходиться в зоне видимости наблюдателя, пока не подойдёт к пристани?
Для решения задачи рассмотрим данное уравнение расстояния катера до пристани:
\[ s(t) = 5 + 8t - 47t^2 \]
где:
- \( s(t) \) — расстояние в километрах от катера до пристани,
- \( t \) — время в часах, прошедшее с момента отплытия.
Также известно, что зона видимости наблюдателя составляет 8 км. Мы должны найти время, в течение которого катер будет находиться в этой зоне видимости.
Шаг 1: Определение времени, когда катер находится в зоне видимости
Зона видимости наблюдателя составляет 8 км. Для этого нам нужно найти значения \( t \), при которых расстояние до пристани \( s(t) \) будет меньше или равно 8 км.
Запишем неравенство:
\[ s(t) \leq 8 \]
Подставим в неравенство уравнение для \( s(t) \):
\[ 5 + 8t - 47t^2 \leq 8 \]
Шаг 2: Упрощение неравенства
Упростим неравенство:
\[ 8t - 47t^2 \leq 8 - 5 \] \[ 8t - 47t^2 \leq 3 \] \[ -47t^2 + 8t - 3 \leq 0 \]
Шаг 3: Решение квадратного уравнения
Теперь найдем корни уравнения \( -47t^2 + 8t - 3 = 0 \) с помощью дискриминанта.
Формула дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac \]
где \( a = -47 \), \( b = 8 \), \( c = -3 \).
\[ D = 8^2 - 4 \cdot (-47) \cdot (-3) = 64 - 564 = -500 \]
Шаг 4: Анализ дискриминанта
Дискриминант \( D < 0 \) означает, что уравнение не имеет действительных корней, и функция не пересекает ось \( t \). Это значит, что катер никогда не вернется в зону видимости и будет находиться в ней только в начале своего пути.
Шаг 5: Нахождение времени, когда катер выйдет из видимости
Нам нужно найти такой \( t \) при котором расстояние до пристани станет ровно 8 км:
\[ s(t) = 8 \]
Подставим в уравнение:
\[ 5 + 8t - 47t^2 = 8 \]
Упрощаем уравнение:
\[ 8t - 47t^2 = 3 \] \[ -47t^2 + 8t - 3 = 0 \]
Решим это квадратное уравнение, используя дискриминант:
\[ D = 8^2 - 4 \cdot (-47) \cdot (-3) = 64 - 564 = -500 \]
Шаг 6: Определение интервалов
Так как катер начинает своё движение с расстояния 5 км от пристани и идёт к ней, давайте найдем, сколько времени катер будет находиться в зоне видимости, учитывая его начальную позицию. Поскольку у катера есть ограниченное расстояние до пристани, зная, что он начал с 5 км, нам необходимо найти, когда \( s(t) \) станет равным 0 (когда катер достигнет пристани):
\[ 5 + 8t - 47t^2 = 0 \]
Шаг 7: Нахождение времени, за которое катер достигнет пристани
Решим уравнение:
Используем формулу дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot (-47) \cdot 5 = 64 + 940 = 1004 \]
Теперь найдем корни:
\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm \sqrt{1004}}{-94} \]
Это даст два возможных времени. Однако нам нужно будет учитывать только положительное значение времени.
Таким образом, мы получим, что катер находится в зоне видимости с момента отплытия до достижения пристани, т.е. когда \( s(t) = 0 \).
Таким образом, ответ — время, в течение которого катер будет в зоне видимости, равно времени, затраченному на пути к пристани, которое мы можем получить, решая это уравнение.
Итог:
Поскольку катер начинается с 5 км и движется к пристани с выражением расстояния \( s(t) \), он покинет зону видимости, когда планы закроются в момент достижения ним пристани. Весь путь катера он будет находиться в зоне видимости наблюдателя.
