Для решения задачи рассмотрим данное уравнение расстояния катера до пристани:
[
s(t) = 5 + 8t - 47t^2
]
где:
- ( s(t) ) — расстояние в километрах от катера до пристани,
- ( t ) — время в часах, прошедшее с момента отплытия.
Также известно, что зона видимости наблюдателя составляет 8 км. Мы должны найти время, в течение которого катер будет находиться в этой зоне видимости.
Шаг 1: Определение времени, когда катер находится в зоне видимости
Зона видимости наблюдателя составляет 8 км. Для этого нам нужно найти значения ( t ), при которых расстояние до пристани ( s(t) ) будет меньше или равно 8 км.
Запишем неравенство:
[
s(t) \leq 8
]
Подставим в неравенство уравнение для ( s(t) ):
[
5 + 8t - 47t^2 \leq 8
]
Шаг 2: Упрощение неравенства
Упростим неравенство:
[
8t - 47t^2 \leq 8 - 5
]
[
8t - 47t^2 \leq 3
]
[
-47t^2 + 8t - 3 \leq 0
]
Шаг 3: Решение квадратного уравнения
Теперь найдем корни уравнения ( -47t^2 + 8t - 3 = 0 ) с помощью дискриминанта.
Формула дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac
]
где ( a = -47 ), ( b = 8 ), ( c = -3 ).
[
D = 8^2 - 4 \cdot (-47) \cdot (-3) = 64 - 564 = -500
]
Шаг 4: Анализ дискриминанта
Дискриминант ( D < 0 ) означает, что уравнение не имеет действительных корней, и функция не пересекает ось ( t ). Это значит, что катер никогда не вернется в зону видимости и будет находиться в ней только в начале своего пути.
Шаг 5: Нахождение времени, когда катер выйдет из видимости
Нам нужно найти такой ( t ) при котором расстояние до пристани станет ровно 8 км:
[
s(t) = 8
]
Подставим в уравнение:
[
5 + 8t - 47t^2 = 8
]
Упрощаем уравнение:
[
8t - 47t^2 = 3
]
[
-47t^2 + 8t - 3 = 0
]
Решим это квадратное уравнение, используя дискриминант:
[
D = 8^2 - 4 \cdot (-47) \cdot (-3) = 64 - 564 = -500
]
Шаг 6: Определение интервалов
Так как катер начинает своё движение с расстояния 5 км от пристани и идёт к ней, давайте найдем, сколько времени катер будет находиться в зоне видимости, учитывая его начальную позицию. Поскольку у катера есть ограниченное расстояние до пристани, зная, что он начал с 5 км, нам необходимо найти, когда ( s(t) ) станет равным 0 (когда катер достигнет пристани):
[
5 + 8t - 47t^2 = 0
]
Шаг 7: Нахождение времени, за которое катер достигнет пристани
Решим уравнение:
Используем формулу дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot (-47) \cdot 5 = 64 + 940 = 1004
]
Теперь найдем корни:
[
t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm \sqrt{1004}}{-94}
]
Это даст два возможных времени. Однако нам нужно будет учитывать только положительное значение времени.
Таким образом, мы получим, что катер находится в зоне видимости с момента отплытия до достижения пристани, т.е. когда ( s(t) = 0 ).
Таким образом, ответ — время, в течение которого катер будет в зоне видимости, равно времени, затраченному на пути к пристани, которое мы можем получить, решая это уравнение.
Итог:
Поскольку катер начинается с 5 км и движется к пристани с выражением расстояния ( s(t) ), он покинет зону видимости, когда планы закроются в момент достижения ним пристани. Весь путь катера он будет находиться в зоне видимости наблюдателя.
