Дано АВСDA1B1C1D1 прямоугольный параллелипипед. АВСD-квадрат. В1D=3корня из 5 см. AD:DC:DD1=1:2:3 Найти: AD,DC,DD1 и синус угла BDB1

Для решения поставленной задачи начнем с понимания структуры прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, где ABCD - это основание, представляющее собой квадрат, а A1, B1, C1, D1 - это вершины, образующие верхнюю границу параллелепипеда.

Шаг 1: Определение соотношений длины сторон

Дано соотношение сторон:

• AD:DC:DD1 = 1:2:3.

Обозначим длины сторон следующим образом:

• AD = x,
• DC = 2x,
• DD1 = 3x.

Шаг 2: Связь между сторонами

Поскольку ABCD - квадрат, то:

• AB = AD = x,
• BC = DC = 2x.

Также известно, что длина диагонали между точками B и D1 равна \( BD1 \).

Шаг 3: Применение теоремы Пифагора

Отрезок B1D можно выразить с помощью теоремы Пифагора для треугольника BDB1, где: \[ BD^2 = AB^2 + AD1^2. \]

Отрезок BD можно найти как:\[ BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{x^2 + (3x)^2} = \sqrt{x^2 + 9x^2} = \sqrt{10x^2} = x\sqrt{10}. \]

Так как B1D = 3√5 см, имеем: \[ x\sqrt{10} = 3\sqrt{5}. \]

Шаг 4: Решение уравнения

Чтобы решить это уравнение, разделим обе стороны на \(\sqrt{10}\): \[ x = \frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{2\cdot5}} = \frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{2}\sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{2}}. \]

Шаг 5: Находим длины AD, DC и DD1

Теперь можем найти длины всех сторон:

• AD = x = \(\frac{3}{\sqrt{2}}\) см,
• DC = 2x = \(\frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}\) см,
• DD1 = 3x = \(\frac{9}{\sqrt{2}} = \frac{9\sqrt{2}}{2}\) см.

Шаг 6: Находим синус угла BDB1

Теперь определим синус угла BDB1. Рассмотрим треугольник BDB1:

• BD - основание,
• B1D - высота.

Синус угла BDB1 можно найти как: \[ \sin(BDB1) = \frac{B1D}{BD} = \frac{3\sqrt{5}}{3\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2\cdot5}} = \frac{1}{\sqrt{2}}. \]

Зафиксируем результаты:

• AD = \(\frac{3}{\sqrt{2}}\) см,
• DC = \(3\sqrt{2}\) см,
• DD1 = \(\frac{9\sqrt{2}}{2}\) см,
• Синус угла BDB1 = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\).

Таким образом, мы получили все необходимые значения. Если остались вопросы, обязательно задайте их!