Михаил, катаясь с компанией на катере, за 8 часов совершил путь от пристани до пляжа, позагорал 3 часа и вернулся обратно, преодолев расстояние 72 км. Скорость течения реки равна…

Для решения задачи начнем с определения необходимых переменных и формул.

1. Обозначение переменных:

   • Пусть \( v_k \) — скорость катера в стоячей воде (озере).
   • Скорость течения реки — \( v_t = 3 \) км/ч.

2. Общий путь: Михаил совершил путь в 72 км в обе стороны (от пристани до пляжа и обратно), то есть 36 км в одну сторону, пока его катер двигался по течению реки, а вернувшись — против течения.

3. Расчет времени в пути:

   • Время, затраченное на путь к пляжу (по течению): \[ t_1 = \frac{d}{v_k + v_t} = \frac{36}{v_k + 3} \]
   • Время, затраченное на путь обратно (против течения): \[ t_2 = \frac{d}{v_k - v_t} = \frac{36}{v_k - 3} \]

4. Общее время в пути: Михаил провел в пути (время в пути туда + обратно) и время на пляже: \[ t_1 + t_2 + 3 = 8 \] Таким образом, можем выразить: \[ t_1 + t_2 = 8 - 3 = 5 \] Поэтому у нас есть уравнение: \[ \frac{36}{v_k + 3} + \frac{36}{v_k - 3} = 5 \]

5. Упрощаем уравнение: Умножим уравнение на \((v_k + 3)(v_k - 3)\), чтобы избавиться от дробей: \[ 36(v_k - 3) + 36(v_k + 3) = 5(v_k + 3)(v_k - 3) \] Раскроем скобки: \[ 36v_k - 108 + 36v_k + 108 = 5(v_k^2 - 9) \] Сложим похожие термины: \[ 72v_k = 5v_k^2 - 45 \] Перепишем уравнение: \[ 5v_k^2 - 72v_k - 45 = 0 \]

6. Решаем квадратное уравнение: Применим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-72)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-45) = 5184 + 900 = 6084 \] Найдем корни: \[ v_k = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{72 \pm \sqrt{6084}}{10} \] Вычислим \( \sqrt{6084} \): \[ \sqrt{6084} = 78 \] Подставим в формулу: \[ v_k = \frac{72 \pm 78}{10} \]

   Это дает два значения: \[ v_k = \frac{150}{10} = 15 \quad \text{или} \quad v_k = \frac{-6}{10} = -0.6 \] Скорость не может быть отрицательной, следовательно, скорость катера: \[ v_k = 15 \text{ км/ч} \]

Ответ: Скорость катера на озере равна 15 км/ч.