Доказать тождество sin²α+cos(π/3-α)cos(π/3+α)=1/4

Чтобы доказать тождество \[ \sin^2 \alpha + \cos\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)\cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \frac{1}{4}, \] начнем с правой части выражения, а затем попробуем упростить её, чтобы она совпала с левой частью. 1. **Упрощение косинусов:** Используем формулы косинуса разности и суммы: \[ \cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b, \] \[ \cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b. \] Применяем их: \[ \cos\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) = \cos\frac{\pi}{3}\cos\alpha + \sin\frac{\pi}{3}\sin\alpha, \] и \[ \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \cos\frac{\pi}{3}\cos\alpha - \sin\frac{\pi}{3}\sin\alpha. \] Значения для \(\cos\frac{\pi}{3}\) и \(\sin\frac{\pi}{3}\): \[ \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}, \quad \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}. \] Таким образом: \[ \cos\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) = \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha, \] и \[ \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha. \] 2. **Перемножение:** Теперь перемножим эти два выражения: \[ \cos\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)\cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \left(\frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha\right)\left(\frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha\right). \] Это выражение можно рассмотреть как разность квадратов: \[ = \frac{1}{4}\cos^2 \alpha - \frac{3}{4}\sin^2 \alpha. \] 3. **Подстановка:** Теперь подставим это обратно в тождество: \[ \sin^2 \alpha + \left(\frac{1}{4}\cos^2 \alpha - \frac{3}{4}\sin^2 \alpha\right) = \sin^2 \alpha + \frac{1}{4}\cos^2 \alpha - \frac{3}{4}\sin^2 \alpha. \] Объединим однородные слагаемые: \[ = \left(1 - \frac{3}{4}\right)\sin^2 \alpha + \frac{1}{4}\cos^2 \alpha. \] 4. **Упрощение:** Таким образом: \[ = \frac{1}{4}\sin^2 \alpha + \frac{1}{4}\cos^2 \alpha = \frac{1}{4}(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha). \] По формуле Пифагора знаем, что \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\): \[ = \frac{1}{4} \cdot 1 = \frac{1}{4}. \] 5. **Заключение:** Таким образом, мы доказали тождество: \[ \sin^2 \alpha + \cos\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)\cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \frac{1}{4}. \] Это завершает доказательство.