доказать тождество sin²α+cos(π/3-α)cos(π/3+α)=1/4
Чтобы доказать тождество
\[ \sin^2 \alpha + \cos\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)\cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \frac{1}{4}, \]
начнем с правой части выражения, а затем попробуем упростить её, чтобы она совпала с левой частью.
- Упрощение косинусов: Используем формулы косинуса разности и суммы:
\[ \cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b, \] \[ \cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b. \]
Применяем их:
\[ \cos\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) = \cos\frac{\pi}{3}\cos\alpha + \sin\frac{\pi}{3}\sin\alpha, \]
и
\[ \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \cos\frac{\pi}{3}\cos\alpha - \sin\frac{\pi}{3}\sin\alpha. \]
Значения для \(\cos\frac{\pi}{3}\) и \(\sin\frac{\pi}{3}\):
\[ \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}, \quad \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}. \]
Таким образом:
\[ \cos\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) = \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha, \]
и
\[ \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha. \]
- Перемножение: Теперь перемножим эти два выражения:
\[ \cos\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)\cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \left(\frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha\right)\left(\frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha\right). \]
Это выражение можно рассмотреть как разность квадратов:
\[ = \frac{1}{4}\cos^2 \alpha - \frac{3}{4}\sin^2 \alpha. \]
- Подстановка: Теперь подставим это обратно в тождество:
\[ \sin^2 \alpha + \left(\frac{1}{4}\cos^2 \alpha - \frac{3}{4}\sin^2 \alpha\right) = \sin^2 \alpha + \frac{1}{4}\cos^2 \alpha - \frac{3}{4}\sin^2 \alpha. \]
Объединим однородные слагаемые:
\[ = \left(1 - \frac{3}{4}\right)\sin^2 \alpha + \frac{1}{4}\cos^2 \alpha. \]
- Упрощение: Таким образом:
\[ = \frac{1}{4}\sin^2 \alpha + \frac{1}{4}\cos^2 \alpha = \frac{1}{4}(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha). \]
По формуле Пифагора знаем, что \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\):
\[ = \frac{1}{4} \cdot 1 = \frac{1}{4}. \]
- Заключение: Таким образом, мы доказали тождество:
\[ \sin^2 \alpha + \cos\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)\cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \frac{1}{4}. \]
Это завершает доказательство.
