Определите, какая из функций принимает только отрицательные значения: а) y = 3x ^ 2 - 4x + 9 б) y = - x ^ 2 + 5 в) y = x ^ 2 + 4x - 7 г) y = - x ^ 2 + 5x - 9 д) y = - x ^ 2 + 5x -…

Чтобы определить, какая из представленных функций принимает только отрицательные значения, нужно проанализировать каждую функцию отдельно. В случае квадратных функций (парабол), важно обратить внимание на знак перед членом с \(x^2\), так как он определяет направление ветвей параболы:

• Если знак положительный, ветви параболы направлены вверх.
• Если знак отрицательный, ветви параболы направлены вниз.

Также нам важно найти корни функции (если таковые имеются) и вычислить значение функции в вершине параболы, чтобы понять, где она может принимать отрицательные значения.

Давайте рассмотрим каждую из функций:

а) \( y = 3x^2 - 4x + 9 \)

1. Определяем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 9 = 16 - 108 = -92 \] Дискриминант отрицательный, значит, у этой функции нет корней, и она не пересекает ось \(x\).

2. Парабола направлена вверх (так как коэффициент перед \(x^2\) положительный) и находится выше оси \(x\).

Вывод: Эта функция не принимает только отрицательные значения.

б) \( y = -x^2 + 5 \)

1. Определяем дискриминант: \[ D = 0^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 5 = 0 + 20 = 20 \] Дискриминант положительный, значит, у функции есть два корня. Найдем их: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{0 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot -1} = \frac{\pm 2\sqrt{5}}{-2} = \mp \sqrt{5} \] Корни: \(x_1 = -\sqrt{5}\), \(x_2 = \sqrt{5}\).

2. Парабола направлена вниз и верхняя точка (вершина) располагается на \(y = 5\). Это значит, что функция принимает значения от \(5\) до \(-\infty\) между корнями.

Вывод: Эта функция не принимает только отрицательные значения.

в) \( y = x^2 + 4x - 7 \)

1. Определяем дискриминант: \[ D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 16 + 28 = 44 \] Дискриминант положительный, значит, у функции есть два корня. Найдем их: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{44}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{11}}{2} = -2 \pm \sqrt{11} \] Корни: \(x_1 = -2 - \sqrt{11}\), \(x_2 = -2 + \sqrt{11}\).

2. Парабола направлена вверх и принимает значения от \(-\infty\) до минимального значения в корнях.

Вывод: Эта функция не принимает только отрицательные значения.

г) \( y = -x^2 + 5x - 9 \)

1. Определяем дискриминант: \[ D = 5^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-9) = 25 - 36 = -11 \] Дискриминант отрицательный, значит, у этой функции нет корней и она не пересекает ось \(x\).

2. Парабола направлена вниз и верхняя точка находится выше оси \(x\).

Вывод: Эта функция не принимает только отрицательные значения.

д) \( y = -x^2 + 5x - 3 \)

1. Определяем дискриминант: \[ D = 5^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-3) = 25 - 12 = 13 \] Дискриминант положительный, значит, у функции есть два корня. Найдем их: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot -1} = \frac{-5 \pm \sqrt{13}}{-2} = \frac{5 \mp \sqrt{13}}{2} \] Корни: \(x_1 = \frac{5 - \sqrt{13}}{2}\), \(x_2 = \frac{5 + \sqrt{13}}{2}\).

2. Парабола направлена вниз. Значение функции в вершине: \[ x_{\text{вершина}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{5}{-2} = \frac{5}{2} = 2.5 \] Подставляем это значение обратно в функцию для нахождения максимума: \[ y = -\left(2.5\right)^2 + 5\left(2.5\right) - 3 = -6.25 + 12.5 - 3 = 3.25 \] Она принимает значения от \(3.25\) (максимум) до \(-\infty\) между корнями.

Вывод: Эта функция не принимает только отрицательные значения.

Итог: Все функции из списка принимают положительные и отрицательные значения. Ни одна из них не принимает только отрицательные значения.