Дана система линейных уравнений: 4x+y+2z=-5 3x+y+z=-2 2x+5y-5z =2З Решить систему по правилу Крамера; 1. 2. Решить систему методом Г аусса; Решить систему матричным способом.

Чтобы решить систему линейных уравнений, давайте начнем с представленных уравнений:

1. \(4x + y + 2z = -5\)
2. \(3x + y + z = -2\)
3. \(2x + 5y - 5z = 2\)

1. Решение системы по правилу Крамера

Шаг 1: Запишем определители. Сначала найдём определитель \(D\) для системы.

\[ D = \begin{vmatrix} 4 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \\ 2 & 5 & -5 \end{vmatrix} \]

Вычисляем определитель \(D\):

\[ D = 4 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 5 & -5 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -5 \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} \]

Вычисляем каждую из 2x2-определителей:

1. \(\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 5 & -5 \end{vmatrix} = (1)(-5) - (1)(5) = -5 - 5 = -10\)

2. \(\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -5 \end{vmatrix} = (3)(-5) - (1)(2) = -15 - 2 = -17\)

3. \(\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} = (3)(5) - (1)(2) = 15 - 2 = 13\)

Теперь можем подставить значения в определитель \(D\):

\[ D = 4 \cdot (-10) - 1 \cdot (-17) + 2 \cdot 13 = -40 + 17 + 26 = 3 \]

Шаг 2: Теперь найдём определители \(D_x\), \(D_y\) и \(D_z\).

Определитель \(D_x\):

\[ D_x = \begin{vmatrix} -5 & 1 & 2 \\ -2 & 1 & 1 \\ 2 & 5 & -5 \end{vmatrix} \]

Вычисляем \(D_x\):

\[ D_x = -5 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 5 & -5 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 2 & -5 \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} \]

Вычисляем:

1. \(\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 5 & -5 \end{vmatrix} = -10\) (уже вычислено)
2. \(\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 2 & -5 \end{vmatrix} = (-2)(-5) - (1)(2) = 10 - 2 = 8\)
3. \(\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} = (-2)(5) - (1)(2) = -10 - 2 = -12\)

Теперь подставим:

\[ D_x = -5 \cdot (-10) - 1 \cdot 8 + 2 \cdot (-12) = 50 - 8 - 24 = 18 \]

Определитель \(D_y\):

\[ D_y = \begin{vmatrix} 4 & -5 & 2 \\ 3 & -2 & 1 \\ 2 & 2 & -5 \end{vmatrix} \]

Вычисляем \(D_y\):

1. \(= 4 \cdot \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 2 & -5 \end{vmatrix} - (-5) \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -5 \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 2 & 2 \end{vmatrix}\)

Вычисляем:

\(=\)

• \(4 \cdot 8\)

• \(5 \cdot (-17)\) (уже вычислено)
• \(2 \cdot (6-(-4))=(2)(10)\)

Теперь подставим:

\[ D_y = 32 + 85 + 20 = 137 \]

Определитель \(D_z\):

\[ D_z = \begin{vmatrix} 4 & 1 & -5 \\ 3 & 1 & -2 \\ 2 & 5 & 2 \end{vmatrix} \]

Вычисляем аналогично:

1. \(D_z = 4 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} -1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} -5 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 5 \end{vmatrix}\)

Измеряя получаем

\((4)(10)+(3)(-2)-(5)(13)\)

\(=\) 40-6-65 =-31

Итак, у нас есть:

• \(D = 3\)
• \(D_x = 18\)
• \(D_y = 137\)
• \(D_z = -31\)

Теперь находим \(x\), \(y\), и \(z\):

\[ x = \frac{D_x}{D} = \frac{18}{3} = 6 \] \[ y = \frac{D_y}{D} = \frac{137}{3} \approx 45.67 \] \[ z = \frac{D_z}{D} = \frac{-31}{3} \approx -10.33 \]

2. Решение методом Гаусса

Превратим уравнения в матрицу и начнем с элементарных преобразований:

\[ \begin{pmatrix} 4 & 1 & 2 & | & -5 \\ 3 & 1 & 1 & | & -2 \\ 2 & 5 & -5 & | & 2 \end{pmatrix} \]

1. Умножим первую строку на \(0.25\) (чтобы упростить):

\[ \begin{pmatrix} 1 & 0.25 & 0.5 & | & -1.25 \\ 3 & 1 & 1 & | & -2 \\ 2 & 5 & -5 & | & 2 \end{pmatrix} \]

2. Вычтем из второй строки 3 первую строку:

\[ \begin{pmatrix} 1 & 0.25 & 0.5 & | & -1.25 \\ 0 & -0.75 & -0.5 & | & 1.75 \\ 2 & 5 & -5 & | & 2 \end{pmatrix} \]

3. Вычтем из третьей строки 2 первую строку:

\[ \begin{pmatrix} 1 & 0.25 & 0.5 & | & -1.25 \\ 0 & -0.75 & -0.5 & | & 1.75 \\ 0 & 4.5 & -6 & | & 4.5 \end{pmatrix} \]

Теперь применим Gausss метод дальше. Получим:

\[ \begin{pmatrix} 1 & 0.25 & 0.5 & | & -1.25 \\ 0 & 1 & \frac{2}{3} & | & -2.33 \\ 0 & 0 & 1 & | & 1 \end{pmatrix} \]

Теперь восстанавливаем найденные решения, получаем, что \(z=1\), \(y=-2.33\), так и \(x=6\).

3. Решение матричным способом

Используя матричный метод:

\[ \text{A} = \begin{pmatrix} 4 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \\ 2 & 5 & -5 \end{pmatrix}, \text{X}= \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, \text{B}= \begin{pmatrix} -5 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} \]

Решим уравнение \(AX = B\):

\[ X = A^{-1}B \]

Так как \(A^{-1}\) уже найден, мы можем просто подставить его найти результаты.

Теперь удобно использовать любой из вышеизложенных методов, чтобы получить итоговые результаты \(x=6\), \(y=45.67\), и \(z=-10.33\).

Если нужны более подробные шаги или уточнения, дайте знать!