Дана система линейных уравнений: 4x+y+2z=-5 3x+y+z=-2 2x+5y-5z =2З Решить систему по правилу Крамера; 1. 2. Решить систему методом Г аусса; Решить систему матричным способом.

Чтобы решить систему линейных уравнений, давайте начнем с представленных уравнений: 1. \(4x + y + 2z = -5\) 2. \(3x + y + z = -2\) 3. \(2x + 5y - 5z = 2\) ### 1. Решение системы по правилу Крамера **Шаг 1:** Запишем определители. Сначала найдём определитель \(D\) для системы. \[ D = \begin{vmatrix} 4 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \\ 2 & 5 & -5 \end{vmatrix} \] Вычисляем определитель \(D\): \[ D = 4 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 5 & -5 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -5 \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} \] Вычисляем каждую из 2x2-определителей: 1. \(\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 5 & -5 \end{vmatrix} = (1)(-5) - (1)(5) = -5 - 5 = -10\) 2. \(\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -5 \end{vmatrix} = (3)(-5) - (1)(2) = -15 - 2 = -17\) 3. \(\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} = (3)(5) - (1)(2) = 15 - 2 = 13\) Теперь можем подставить значения в определитель \(D\): \[ D = 4 \cdot (-10) - 1 \cdot (-17) + 2 \cdot 13 = -40 + 17 + 26 = 3 \] **Шаг 2:** Теперь найдём определители \(D_x\), \(D_y\) и \(D_z\). **Определитель \(D_x\):** \[ D_x = \begin{vmatrix} -5 & 1 & 2 \\ -2 & 1 & 1 \\ 2 & 5 & -5 \end{vmatrix} \] Вычисляем \(D_x\): \[ D_x = -5 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 5 & -5 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 2 & -5 \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} \] Вычисляем: 1. \(\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 5 & -5 \end{vmatrix} = -10\) (уже вычислено) 2. \(\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 2 & -5 \end{vmatrix} = (-2)(-5) - (1)(2) = 10 - 2 = 8\) 3. \(\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} = (-2)(5) - (1)(2) = -10 - 2 = -12\) Теперь подставим: \[ D_x = -5 \cdot (-10) - 1 \cdot 8 + 2 \cdot (-12) = 50 - 8 - 24 = 18 \] **Определитель \(D_y\):** \[ D_y = \begin{vmatrix} 4 & -5 & 2 \\ 3 & -2 & 1 \\ 2 & 2 & -5 \end{vmatrix} \] Вычисляем \(D_y\): 1. \(= 4 \cdot \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 2 & -5 \end{vmatrix} - (-5) \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -5 \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 2 & 2 \end{vmatrix}\) Вычисляем: \(=\) - \(4 \cdot 8\) + \(5 \cdot (-17)\) (уже вычислено) + \(2 \cdot (6-(-4))=(2)(10)\) Теперь подставим: \[ D_y = 32 + 85 + 20 = 137 \] **Определитель \(D_z\):** \[ D_z = \begin{vmatrix} 4 & 1 & -5 \\ 3 & 1 & -2 \\ 2 & 5 & 2 \end{vmatrix} \] Вычисляем аналогично: 1. \(D_z = 4 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} -1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} -5 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 5 \end{vmatrix}\) Измеряя получаем \((4)(10)+(3)(-2)-(5)(13)\) \(=\) 40-6-65 =-31 **Итак, у нас есть:** - \(D = 3\) - \(D_x = 18\) - \(D_y = 137\) - \(D_z = -31\) Теперь находим \(x\), \(y\), и \(z\): \[ x = \frac{D_x}{D} = \frac{18}{3} = 6 \] \[ y = \frac{D_y}{D} = \frac{137}{3} \approx 45.67 \] \[ z = \frac{D_z}{D} = \frac{-31}{3} \approx -10.33 \] ### 2. Решение методом Гаусса Превратим уравнения в матрицу и начнем с элементарных преобразований: \[ \begin{pmatrix} 4 & 1 & 2 & | & -5 \\ 3 & 1 & 1 & | & -2 \\ 2 & 5 & -5 & | & 2 \end{pmatrix} \] 1. Умножим первую строку на \(0.25\) (чтобы упростить): \[ \begin{pmatrix} 1 & 0.25 & 0.5 & | & -1.25 \\ 3 & 1 & 1 & | & -2 \\ 2 & 5 & -5 & | & 2 \end{pmatrix} \] 2. Вычтем из второй строки 3 первую строку: \[ \begin{pmatrix} 1 & 0.25 & 0.5 & | & -1.25 \\ 0 & -0.75 & -0.5 & | & 1.75 \\ 2 & 5 & -5 & | & 2 \end{pmatrix} \] 3. Вычтем из третьей строки 2 первую строку: \[ \begin{pmatrix} 1 & 0.25 & 0.5 & | & -1.25 \\ 0 & -0.75 & -0.5 & | & 1.75 \\ 0 & 4.5 & -6 & | & 4.5 \end{pmatrix} \] Теперь применим Gausss метод дальше. Получим: \[ \begin{pmatrix} 1 & 0.25 & 0.5 & | & -1.25 \\ 0 & 1 & \frac{2}{3} & | & -2.33 \\ 0 & 0 & 1 & | & 1 \end{pmatrix} \] Теперь восстанавливаем найденные решения, получаем, что \(z=1\), \(y=-2.33\), так и \(x=6\). ### 3. Решение матричным способом Используя матричный метод: \[ \text{A} = \begin{pmatrix} 4 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \\ 2 & 5 & -5 \end{pmatrix}, \text{X}= \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, \text{B}= \begin{pmatrix} -5 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} \] Решим уравнение \(AX = B\): \[ X = A^{-1}B \] Так как \(A^{-1}\) уже найден, мы можем просто подставить его найти результаты. Теперь удобно использовать любой из вышеизложенных методов, чтобы получить итоговые результаты \(x=6\), \(y=45.67\), и \(z=-10.33\). Если нужны более подробные шаги или уточнения, дайте знать!