Обозначим количество пятиугольников как (x), а количество семиугольников как (y).
Каждый пятиугольник имеет 5 вершин, а каждый семиугольник — 7 вершин. Таким образом, общее количество вершин можно выразить уравнением:
[
5x + 7y = 44
]
Также нам нужно учитывать, что количество фигурок (пятиугольников и семиугольников) должно быть неотрицательным:
[
x \geq 0, \quad y \geq 0
]
Чтобы решить это уравнение, мы можем выразить (y) через (x):
[
7y = 44 - 5x \quad \Rightarrow \quad y = \frac{44 - 5x}{7}
]
Теперь (44 - 5x) должно быть делимым на 7. Найдем возможные значения (x):
- Когда (x = 0):
[
y = \frac{44 - 5 \cdot 0}{7} = \frac{44}{7} \text{ (нецелое)}
]
- Когда (x = 1):
[
y = \frac{44 - 5 \cdot 1}{7} = \frac{39}{7} \text{ (нецелое)}
]
- Когда (x = 2):
[
y = \frac{44 - 5 \cdot 2}{7} = \frac{34}{7} \text{ (нецелое)}
]
- Когда (x = 3):
[
y = \frac{44 - 5 \cdot 3}{7} = \frac{29}{7} \text{ (нецелое)}
]
- Когда (x = 4):
[
y = \frac{44 - 5 \cdot 4}{7} = \frac{24}{7} \text{ (нецелое)}
]
- Когда (x = 5):
[
y = \frac{44 - 5 \cdot 5}{7} = \frac{19}{7} \text{ (нецелое)}
]
- Когда (x = 6):
[
y = \frac{44 - 5 \cdot 6}{7} = \frac{14}{7} = 2 \text{ (целое)}
]
- Когда (x = 7):
[
y = \frac{44 - 5 \cdot 7}{7} = \frac{9}{7} \text{ (нецелое)}
]
- Когда (x = 8):
[
y = \frac{44 - 5 \cdot 8}{7} = \frac{4}{7} \text{ (нецелое)}
]
- Когда (x = 9):
[
y = \frac{44 - 5 \cdot 9}{7} = \frac{-1}{7} \text{ (отрицательное)}
]
Таким образом, единственное целое и неотрицательное решение, найденное ранее, соответствует (x = 6) и (y = 2).
Ваня вырезал 6 пятиугольников.
