Пусть все клетки доски 100 × 100 покрашены в красный и зелёный цвета. Клетка называется гармоничной, если у неё равное количество красных и зелёных соседей. Каково максимально…

Чтобы максимизировать количество гармоничных клеток на доске размером 100 × 100, мы должны понять, как устроены соседи клетки. У каждой клетки может быть 4 соседа: сверху, снизу, слева и справа.

Клетка называется гармоничной, если у неё равное количество красных и зелёных соседей. Поскольку у клетки 4 соседа, для того чтобы клетка была гармоничной, необходимо, чтобы количество красных соседей и количество зелёных соседей были равны, т.е. по 2 соседа каждого цвета.

Одним из способов достижения максимального количества гармоничных клеток является чередование цветов на доске. Например, можно использовать шахматное расположение цветов:

R Z R Z R Z ...
Z R Z R Z R ...
R Z R Z R Z ...
Z R Z R Z R ...
...

Таким образом, каждая клетка (если это не крайняя клетка) будет иметь два красных и два зелёных соседа.

Теперь, чтобы посчитать количество гармоничных клеток, рассмотрим все клетки:

• На доске 100 × 100 всего 10,000 клеток.
• Все внутренние клетки (непоймем по заданному условию, что их влияние можно упростить) будут гармоничными. Внешние клетки, которые находятся на границе (например, угловые и краевые) не могут быть гармоничными, так как у них меньше 4 соседей.

На углах (4 клетки) и по краям (96 клеток на каждой стороне минус 4 угловые) будут красные клетки и зелёные поочередно, что сильно приводит к снижению их числа как гармоничных.

Наибольшее число гармоничных клеток возможно, когда мы оставим только внутренние клетки. Однако, поскольку на внешних рядах и столбцах всегда будут несоответствия между количеством соседей, можно утверждать:

Вся внутренняя часть, т.е. 98 × 98 (включая все 4 края). На внутренней части 98 блоков на 98, и фактически у нас будет:

98 * 98 = 9604 гармоничных клеток, так как по границам клетки не все соседи будут устойчивы к равенству 2 красных и 2 зелёных соседей.

Ответ: 9604