Для решения задачи обозначим задуманное трехзначное число как (\overline{abc}), где (a), (b) и (c) — это цифры этого числа (при этом (a) не может быть нулем, так как это трехзначное число). Условия задачи требуют, чтобы:
- Все цифры (a), (b), (c) различны.
- Вторая цифра (b) четная.
- Из числа (\overline{abc}) вычитается число, записанное теми же цифрами в обратном порядке — (\overline{cba}).
- Результат вычитания равен 693.
Запишем математическое выражение для расчетов:
[
\overline{abc} - \overline{cba} = 693
]
И представим числа в десятичной системе:
[
(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 693
]
Упрощаем это выражение:
[
100a + 10b + c - 100c - 10b - a = 693
]
Соберем похожие слагаемые:
[
(100a - a) + (10b - 10b) + (c - 100c) = 693
]
[
99a - 99c = 693
]
Теперь упростим это уравнение:
[
99(a - c) = 693
]
Делим обе стороны на 99:
[
a - c = 7
]
Теперь нам нужно определить возможные значения (a) и (c). Так как (a) и (c) — это цифры (от 0 до 9), и (a) должно быть больше (c) на 7, то значения можно определить так:
- Если (c = 2), то (a = 9) (пара: (a = 9, c = 2))
- Другие значения (c) (например, 0, 1) не дают подходящих цифр для (a),
- Если (c = 3), то (a = 10), что недопустимо.
Таким образом, мы имеем единственную пару: (a = 9), (c = 2). Теперь нам нужно найти значение (b).
По условию (b) четная цифра, которая также должна быть различной по сравнению с (a) и (c). Подходящие четные цифры: 0, 2, 4, 6, 8. Из этих цифр подходит только:
- (b = 0), так как 2 уже выбрана.
- (b = 4), так как все условия выполняются: (a = 9), (c = 2) и (b = 4) отличны друг от друга.
Значит, мы можем составить два числа:
- (904)
- (942)
Теперь проверим, удовлетворяют ли они условию. Число (942):
[
942 - 249 = 693
]
Число 942 также даёт 693.
Оба числа удовлетворяют всем условиям. Теперь найдём сумму двух наибольших чисел:
[
942 + 904 = 1846
]
Таким образом, сумма двух наибольших чисел, удовлетворяющих условиям задачи, равна 1846.
