реши задачу: у прямоугольного треугольника один катет равен 12 см, а синус противоположного ему угла равен 0, 4, найдите гипотенузу и второй катет.
Для решения задачи используем свойства прямоугольного треугольника и тригонометрию. Давайте рассмотрим, что нам известно и как мы можем найти гипотенузу и второй катет.
Данные:
- Один катет (позовем его \( a \)) равен 12 см.
- Синус угла (\( \alpha \)), противоположного этому катету, равен 0,4.
Определение гипотенузы: Синус угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы: \[ \sin(\alpha) = \frac{a}{c} \] Где:
- \( a \) — противолежащий катет (12 см),
- \( c \) — гипотенуза.
Подставим известные данные: \[ 0.4 = \frac{12}{c} \]
Теперь найдем гипотенузу: \[ c = \frac{12}{0.4} \] \[ c = 30 \text{ см} \]
Определение второго катета: Чтобы найти второй катет (\( b \)), используем теорему Пифагора, которая утверждает, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: \[ a^2 + b^2 = c^2 \] Подставим известные значения: \[ 12^2 + b^2 = 30^2 \] \[ 144 + b^2 = 900 \] Выразим \( b^2 \): \[ b^2 = 900 - 144 \] \[ b^2 = 756 \] Найдем \( b \): \[ b = \sqrt{756} \] Для упрощения: \[ 756 = 36 \cdot 21 = 6^2 \cdot 21 \quad \Rightarrow \quad b = 6\sqrt{21} \]
Окончательные ответы:
- Гипотенуза \( c = 30 \text{ см} \)
- Второй катет \( b = 6\sqrt{21} \text{ см} \) (примерно \( 27.57 \text{ см} \))
Таким образом, мы нашли гипотенузу и второй катет прямоугольного треугольника с помощью тригонометрии и теоремы Пифагора.
