Реши задачу: у прямоугольного треугольника один катет равен 12 см, а синус противоположного ему угла равен 0, 4, найдите гипотенузу и второй катет.

Для решения задачи используем свойства прямоугольного треугольника и тригонометрию. Давайте рассмотрим, что нам известно и как мы можем найти гипотенузу и второй катет. 1. **Данные:** - Один катет (позовем его \( a \)) равен 12 см. - Синус угла (\( \alpha \)), противоположного этому катету, равен 0,4. 2. **Определение гипотенузы:** Синус угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы: \[ \sin(\alpha) = \frac{a}{c} \] Где: - \( a \) — противолежащий катет (12 см), - \( c \) — гипотенуза. Подставим известные данные: \[ 0.4 = \frac{12}{c} \] Теперь найдем гипотенузу: \[ c = \frac{12}{0.4} \] \[ c = 30 \text{ см} \] 3. **Определение второго катета:** Чтобы найти второй катет (\( b \)), используем теорему Пифагора, которая утверждает, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: \[ a^2 + b^2 = c^2 \] Подставим известные значения: \[ 12^2 + b^2 = 30^2 \] \[ 144 + b^2 = 900 \] Выразим \( b^2 \): \[ b^2 = 900 - 144 \] \[ b^2 = 756 \] Найдем \( b \): \[ b = \sqrt{756} \] Для упрощения: \[ 756 = 36 \cdot 21 = 6^2 \cdot 21 \quad \Rightarrow \quad b = 6\sqrt{21} \] 4. **Окончательные ответы:** - Гипотенуза \( c = 30 \text{ см} \) - Второй катет \( b = 6\sqrt{21} \text{ см} \) (примерно \( 27.57 \text{ см} \)) Таким образом, мы нашли гипотенузу и второй катет прямоугольного треугольника с помощью тригонометрии и теоремы Пифагора.