Прямая A B касается окружности с центром в точке O радиуса r в точке B . Найдите ∠ O A B (в градусах), если известно, что A B = 7 , 5 см, A O = 15 см.

Чтобы найти угол \(\angle OAB\), сначала рассмотрим треугольник \(OAB\), где точка \(O\) — центр окружности, \(B\) — точка касания, а \(A\) — другая точка на прямой \(AB\).

Из условия задачи известно:

• \(AB = 7.5\) см (длина отрезка между точками \(A\) и \(B\)),
• \(AO = 15\) см (дистанция от точки \(A\) до центра окружности \(O\)),
• радиус окружности \(r = OB\).

Так как прямая \(AB\) касается окружности в точке \(B\), то по свойствам касательных, угол \(\angle OBA\) равен 90 градусам.

Теперь, используя теорему косинусов в треугольнике \(OAB\): \[ AB^2 = AO^2 + OB^2 - 2 \cdot AO \cdot OB \cdot \cos(\angle OAB) \] Подставим известные значения:

• \(AB^2 = (7.5)^2 = 56.25\)
• \(AO = 15\) см
• \(OB = r\)

Тогда у нас есть: \[ 56.25 = 15^2 + r^2 - 2 \cdot 15 \cdot r \cdot \cos(\angle OAB) \]

Так как \(\angle OBA = 90^\circ\), то \(\angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^\circ\) означает, что \(\angle OAB = 90^\circ - \angle AOB\).

Теперь воспользуемся тригонометрическими функциями. Мы можем использовать синус или косинус для нахождения нужного угла. Для нахождения плавающего угла \(OAB\):

\[ \sin(\angle OAB) = \frac{AB}{AO} = \frac{7.5}{15} = 0.5 \]

Из этого следует, что:

\[ \angle OAB = \arcsin(0.5) = 30^\circ \]

Таким образом, угол \(\angle OAB\) равен \(30^\circ\).