(3x-6)×(x-x²) >0

Для решения неравенства \((3x-6) \times (x-x^2) > 0\) пройдем через несколько шагов. Начнем с того, что нужно определить нули каждого множителя, чтобы понять, где наше неравенство может меняться.

Шаг 1: Найдем нули множителей

1. Первый множитель: \(3x - 6\) \[ 3x - 6 = 0 \implies 3x = 6 \implies x = 2 \]

2. Второй множитель: \(x - x^2\) \[ x - x^2 = 0 \implies x(1 - x) = 0 \] Это уравнение имеет два решения: \[ x = 0 \quad \text{или} \quad 1 - x = 0 \implies x = 1 \]

Таким образом, нули функции, определяющие границы для проверки знака, это: \(x = 0\), \(x = 1\) и \(x = 2\).

Шаг 2: Определим интервалы

Теперь, когда мы нашли нули, следующие интервалы, которые мы будем анализировать (все возможные области на числовой прямой, где может быть положительное значение):

• \((-\infty, 0)\)
• \((0, 1)\)
• \((1, 2)\)
• \((2, +\infty)\)

Шаг 3: Проверим знаки на каждом интервале

Теперь проверим знак выражения \((3x - 6)(x - x^2)\) в каждом из интервалов, выбрав по одной тестовой точке в каждом:

1. Интервал \((-\infty, 0)\): например, \(x = -1\) \[ 3(-1) - 6 = -3 - 6 = -9 \quad (\text{отрицательно}) \] \[ -1 - (-1)^2 = -1 - 1 = -2 \quad (\text{отрицательно}) \] \((-9) \times (-2) > 0\) (положительно)

2. Интервал \((0, 1)\): например, \(x = 0.5\) \[ 3(0.5) - 6 = 1.5 - 6 = -4.5 \quad (\text{отрицательно}) \] \[ 0.5 - (0.5)^2 = 0.5 - 0.25 = 0.25 \quad (\text{положительно}) \] \((-4.5) \times (0.25) < 0\) (отрицательно)

3. Интервал \((1, 2)\): например, \(x = 1.5\) \[ 3(1.5) - 6 = 4.5 - 6 = -1.5 \quad (\text{отрицательно}) \] \[ 1.5 - (1.5)^2 = 1.5 - 2.25 = -0.75 \quad (\text{отрицательно}) \] \((-1.5) \times (-0.75) > 0\) (положительно)

4. Интервал \((2, +\infty)\): например, \(x = 3\) \[ 3(3) - 6 = 9 - 6 = 3 \quad (\text{положительно}) \] \[ 3 - (3)^2 = 3 - 9 = -6 \quad (\text{отрицательно}) \] \((3) \times (-6) < 0\) (отрицательно)

Шаг 4: Соберем результаты

Положительные интервалы:

• \((-\infty, 0)\)
• \((1, 2)\)

Итак, решение неравенства \((3x - 6)(x - x^2) > 0\) можно записать в виде:

\[ x \in (-\infty, 0) \cup (1, 2) \]

Ответ

Таким образом, ответ на неравенство \((3x - 6)(x - x^2) > 0\) будет:

\[ (-\infty, 0) \cup (1, 2) \]