2. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный, если у него медиана BD является биссектрисой.

Для доказательства равнобедренности треугольника ABC, когда медиана BD является биссектрисой, проведем следующее рассуждение: Пусть AD и CD - медианы треугольника ABC, а BD - биссектриса угла ABC. Так как BD является медианой, она делит сторону AC пополам, то есть AC = 2*BD. Пусть у нас есть точка E, такая что BD = DE. Тогда треугольники ABD и CBD равны по стороне BD, следовательно, у них равны углы при вершине B. Так как BD - биссектриса угла ABC, то угол ABD = угол CBD. Теперь у нас имеется два равносторонних треугольника ABD и CBD, у которых равны углы при вершине B и один угол при вершине A равен углу при вершине C. Из этого следует, что треугольник ABC - равнобедренный, так как его боковые стороны AB и AC равны. Таким образом, при условии, что медиана BD является биссектрисой, треугольник ABC является равнобедренным.