№1 Шесть восьмиклассников устроили турнир по настольному теннису; каждый должен сыграть с каждым по одному разу. Турнир еще не за кончился: Мила сыграла 5 партий, Толя 4 партии, Надя и Даня по 3 партии, Артем 2, а Сеня - 1. С кем играл Артем? №2 Существует ли граф на пяти вершинах, степени которых равны 1, 2, 3, 4, 5? №3 Красный, синий, желтый и зеленый карандаши лежат в четырех коробках по одному. Цвет карандаша отличается от цвета коробки. Известно, что зеленый карандаш лежит в синей коробке, а красный не лежит в желтой. В какой коробке лежит каждый карандаш? №4 Маша, Лида, Женя и Катя умеют играть на разных инструментах (виолончели, рояле, гитаре и скрипке), но каждая только на одном. Они же владеют разными иностранными языками (английским, французским, немецким и испанским), но каждая только одним. Известно: 1. девушка, которая играет на гитаре, говорит по-испански; 2. Лида не играет ни на скрипке, ни на виолончели и не знает английского языка; 3. Маша не играет ни на скрипке, ни на виолончели и не знает английского языка; 4. девушка, которая говорит по-немецки, не играет на виолончели; 5. Женя знает французский язык, но не играет на скрипке. Кто на каком инструменте играет и какой иностранный язык знает?

Давайте попробуем решить ваши задачи одну за другой. ### Задача 1: Шесть восьмиклассников собрались на турнир по настольному теннису, каждый из них должен сыграть с каждым один раз. Нам известны сыгранные партии: - Мила сыграла 5 партий. - Толя 4 партии. - Надя и Даня по 3 партии. - Артем 2 партии. - Сеня 1 партию. Чтобы определить, с кем играл Артем, вспомним, что каждый должен сыграть с каждым. Общее количество матчей для 6 игроков можно вычислить по формуле: \[ C(n, 2) = \frac{n(n-1)}{2} \] где \( n \) — количество участников (в нашем случае 6). Подставляя значение, получаем: \[ C(6, 2) = \frac{6 \times 5}{2} = 15 \] Таким образом, должно быть 15 партий. Теперь посмотрим, сколько партий сыграли ребята: \[ 5 (Мила) + 4 (Толя) + 3 (Надя) + 3 (Даня) + 2 (Артем) + 1 (Сеня) = 18 \] Однако количество снятых партий превышает общее число возможных матчей (15), что говорит о том, что, возможно, повторения были учтены неверно или некоторые игры еще не сыграны. Но мы точно знаем, что Артем сыграл 2 партии. Ему могли противопоставить, например: - Мила (5 партий) - Толя (4 партии) Таким образом, скорее всего, Артем играл с Толя и с одним из игроков с меньшим количеством выигранных матчей — это может быть либо Надя, либо Даня. ### Ответ: Артем играл с Толей и, скорее всего, с Надей или Даней. --- ### Задача 2: Есть ли граф на пяти вершинах со степенями 1, 2, 3, 4, 5? Сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному количеству рёбер: \[ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 \] Поскольку количество рёбер \(m\) не может быть дробным, так как каждая пара вершин соединяется ровным количеством рёбер, получается, что сумма степеней, равная 15, не может быть удвоена (было бы 15 должно указывать на 7.5 ребер, что невозможно). ### Ответ: Графа с данными степенями не существует. --- ### Задача 3: У нас есть 4 коробки с карандашами разных цветов, и нужно выяснить, где какой карандаш, при условии, что: 1. Зеленый карандаш в синей коробке. 2. Красный не в желтой коробке. Коробки: красная, синяя, желтая, зеленая. Пусть: - Коробка 1: красная - Коробка 2: синяя - Коробка 3: желтая - Коробка 4: зеленая 1. Зеленый карандаш находится в синей коробке. 2. Красный не может быть в желтой. Следуя условиям: - В синей коробке зеленый карандаш. - Красный, скорее всего, будет в красной или зеленой коробке, так как он не в желтой. - Желаю, чтобы желтый карандаш оказался в красной коробке (поскольку из условий и следствия белого я не знаю) и получится: 1. Красный в красной коробке 2. Желтый в желтой. ### Ответ: - Красный карандаш — в красной коробке. - Зеленый карандаш — в синей коробке. - Желтый карандаш — в желтой коробке. - Синий карандаш — в зеленой коробке. --- ### Задача 4: У нас 4 девушки и 4 инструмента, и нам даны некоторые подсказки. 1. Девушка, играющая на гитаре, говорит по-испански. 2. Лида не играет на скрипке или виолончели, и не знает английского. 3. Маша не играет ни на скрипке, ни на виолончели, и не знает английского. 4. Девушка, говорящая по-немецки, не играет на виолончели. 5. Женя знает французский, но не играет на скрипке. Давайте отслеживать информацию: 1. Лида не играет на скрипке и виолончели, значит, она играет на рояле или гитаре. 2. Если Лида играет на рояле, то по 1 условию — гитара — испанский. 3. Маша не играет на скрипке и виолончели, тогда она может играть только на рояле, а значит, Лида играет на гитаре и говорит по-испански. 4. Заведомо, тогда, Женя знает французский, она не может играть на скрипке. Так же остаются только гитара и рояль. 5. Тогда Катя должна играть на скрипке, но по 4 условию она не может говорить по-немецки и играть на виолончели, остаётся только 4 вариант. ### Ответ: - Маша — рояль, немецкий. - Лида — гитара, испанский. - Женя — виолончель, французский. - Катя — скрипка, английский.