Рассмотрим задачу по вычислению первых 5 членов геометрической прогрессии и суммы этих членов, если первый элемент ( a_1 = -40 ) и знаменатель прогрессии ( q = 0.5 ).
Шаг 1: Находим первые 5 членов геометрической прогрессии
Формула для ( n )-го члена геометрической прогрессии выглядит так:
[
a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}
]
где:
- ( a_n ) — ( n )-й член прогрессии,
- ( a_1 ) — первый член прогрессии,
- ( q ) — знаменатель прогрессии,
- ( n ) — номер члена прогрессии.
Теперь можем рассчитать первые 5 членов.
Первый член (( n = 1 )):
[
a_1 = -40
]
Второй член (( n = 2 )):
[
a_2 = a_1 \cdot q^{(2-1)} = -40 \cdot (0.5)^{1} = -40 \cdot 0.5 = -20
]
Третий член (( n = 3 )):
[
a_3 = a_1 \cdot q^{(3-1)} = -40 \cdot (0.5)^{2} = -40 \cdot 0.25 = -10
]
Четвертый член (( n = 4 )):
[
a_4 = a_1 \cdot q^{(4-1)} = -40 \cdot (0.5)^{3} = -40 \cdot 0.125 = -5
]
Пятый член (( n = 5 )):
[
a_5 = a_1 \cdot q^{(5-1)} = -40 \cdot (0.5)^{4} = -40 \cdot 0.0625 = -2.5
]
Шаг 2: Сумма первых 5 членов
Сумма первых ( n ) членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
[
S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}
]
где ( S_n ) — сумма первых ( n ) членов.
Подставим наши значения:
- ( n = 5 ),
- ( a_1 = -40 ),
- ( q = 0.5 ).
Подставим в формулу:
[
S_5 = -40 \cdot \frac{1 - (0.5)^{5}}{1 - 0.5} = -40 \cdot \frac{1 - 0.03125}{0.5}
]
Теперь посчитаем значение:
[
= -40 \cdot \frac{0.96875}{0.5} = -40 \cdot 1.9375 = -77.5
]
Ответ:
Первые 5 членов геометрической прогрессии:
- ( a_1 = -40 )
- ( a_2 = -20 )
- ( a_3 = -10 )
- ( a_4 = -5 )
- ( a_5 = -2.5 )
Сумма первых 5 членов: ( S_5 = -77.5 )
