в треугольнике abc известно что , Bc=7см,угол A=45°, угол B=30°.найдите сторону AC треугольника

Для того чтобы найти сторону \( AC \) в треугольнике \( ABC \), можем использовать теорему синусов. Кроме того, сначала найдем третий угол треугольника, так как сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \).

Шаг 1: Найдем угол \( C \)

Сумма углов треугольника:

\[ A + B + C = 180^\circ \]

Подставим известные значения углов:

\[ 45^\circ + 30^\circ + C = 180^\circ \]

Упрощаем:

\[ C = 180^\circ - 45^\circ - 30^\circ = 105^\circ \]

Теперь у нас есть все углы: \( A = 45^\circ \), \( B = 30^\circ \), \( C = 105^\circ \).

Шаг 2: Применим теорему синусов

Согласно теореме синусов, используя сторону \( BC \), мы можем найти сторону \( AC \):

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]

Где:

• \( a \) — сторона \( BC \) (против угла \( A \)),
• \( b \) — сторона \( AC \) (против угла \( B \)),
• \( c \) — сторона \( AB \) (против угла \( C \)).

Известно, что:

• \( BC = 7 \, \text{см} \)
• \( A = 45^\circ \)
• \( B = 30^\circ \)

Обозначим сторону \( AC \) как \( b \). Тогда по теореме синусов можем записать:

\[ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{7 \, \text{см}}{\sin 45^\circ} = \frac{AC}{\sin 30^\circ} \]

Шаг 3: Подставим значения тригонометрических функций

Зная, что \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \) и \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \):

\[ \frac{7 \, \text{см}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{AC}{\frac{1}{2}} \]

Упростим уравнение:

\[ \frac{7 \, \text{см} \cdot 2}{\sqrt{2}} = 2 \cdot AC \]

Шаг 4: Упростим уравнение

\[ \frac{14}{\sqrt{2}} = 2 \cdot AC \]

Теперь выразим \( AC \):

\[ AC = \frac{14}{2 \cdot \sqrt{2}} = \frac{7}{\sqrt{2}} = 7 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{7\sqrt{2}}{2} \approx 4.95 \, \text{см} \]

Ответ

Сторона \( AC \) треугольника \( ABC \) равна \( \frac{7\sqrt{2}}{2} \approx 4.95 \, \text{см} \).