Для того чтобы найти сторону ( AC ) в треугольнике ( ABC ), можем использовать теорему синусов. Кроме того, сначала найдем третий угол треугольника, так как сумма углов треугольника равна ( 180^\circ ).
Шаг 1: Найдем угол ( C )
Сумма углов треугольника:
[
A + B + C = 180^\circ
]
Подставим известные значения углов:
[
45^\circ + 30^\circ + C = 180^\circ
]
Упрощаем:
[
C = 180^\circ - 45^\circ - 30^\circ = 105^\circ
]
Теперь у нас есть все углы: ( A = 45^\circ ), ( B = 30^\circ ), ( C = 105^\circ ).
Шаг 2: Применим теорему синусов
Согласно теореме синусов, используя сторону ( BC ), мы можем найти сторону ( AC ):
[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
]
Где:
- ( a ) — сторона ( BC ) (против угла ( A )),
- ( b ) — сторона ( AC ) (против угла ( B )),
- ( c ) — сторона ( AB ) (против угла ( C )).
Известно, что:
- ( BC = 7 , \text{см} )
- ( A = 45^\circ )
- ( B = 30^\circ )
Обозначим сторону ( AC ) как ( b ). Тогда по теореме синусов можем записать:
[
\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}
]
Подставим известные значения:
[
\frac{7 , \text{см}}{\sin 45^\circ} = \frac{AC}{\sin 30^\circ}
]
Шаг 3: Подставим значения тригонометрических функций
Зная, что ( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} ) и ( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} ):
[
\frac{7 , \text{см}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{AC}{\frac{1}{2}}
]
Упростим уравнение:
[
\frac{7 , \text{см} \cdot 2}{\sqrt{2}} = 2 \cdot AC
]
Шаг 4: Упростим уравнение
[
\frac{14}{\sqrt{2}} = 2 \cdot AC
]
Теперь выразим ( AC ):
[
AC = \frac{14}{2 \cdot \sqrt{2}} = \frac{7}{\sqrt{2}} = 7 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{7\sqrt{2}}{2} \approx 4.95 , \text{см}
]
Ответ
Сторона ( AC ) треугольника ( ABC ) равна ( \frac{7\sqrt{2}}{2} \approx 4.95 , \text{см} ).
