Осевое сечение конуса – равносторонний треугольник, сторона которого равна 12 см. Найдите площадь боковой поверхности этого конуса (число π ≈ 3).

Чтобы найти площадь боковой поверхности конуса, нам нужно использовать несколько шагов. Давайте подробно разберем задачу.

Шаг 1: Понимание геометрической ситуации

У нас есть конус, у которого осевое сечение представляет собой равносторонний треугольник со стороной 12 см. Это значит, что высота конуса и радиус основания связаны с треугольником.

Шаг 2: Найдем высоту и радиус основания

Для равностороннего треугольника со стороной \( a = 12 \) см, мы можем использовать формулы для нахождения высоты \( h \) и радиуса \( r \).

• Высота равностороннего треугольника вычисляется по формуле: \[ h_{triangle} = \frac{\sqrt{3}}{2} a = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 12 = 6\sqrt{3} \text{ см} \]

Чтобы узнать радиус основания \( r \) конуса, следует заметить, что в данном сечении высота равностороннего треугольника также равна высоте конуса. Проекция высоты треугольника на основание конуса будет половиной от стороны треугольника, то есть \( \frac{a}{2} = \frac{12}{2} = 6 \) см. Следовательно, радиус основания конуса тоже равен 6 см: \[ r = 6 \text{ см} \]

Шаг 3: Найдем образующую конуса

Образующая \( l \) конуса – это сторона треугольника (так как образующая равностороннего треугольника совпадает с образующей конуса): \[ l = 12 \text{ см} \]

Шаг 4: Найдем площадь боковой поверхности конуса

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле: \[ S_{b} = \pi r l \] Подставим найденные значения \( r \) и \( l \): \[ S_{b} = \pi \cdot 6 \cdot 12 \] Подставим значение \( \pi \approx 3 \): \[ S_{b} = 3 \cdot 6 \cdot 12 = 216 \text{ см}^2 \]

Ответ

Площадь боковой поверхности конуса равна 216 см².