Чтобы определить, являются ли события A и B независимыми, мы должны проверить, выполняется ли условие:
[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) ]
где:
- ( P(A) ) – вероятность события A,
- ( P(B) ) – вероятность события B,
- ( P(A \cap B) ) – вероятность одновременного наступления событий A и B.
Шаг 1: Находим вероятность события A.
Событие A – это выбор нечетного числа. Среди чисел от 1 до 30 нечетные числа: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29.
Всего 15 нечетных чисел. Поэтому вероятность события A:
[
P(A) = \frac{\text{Количество нечетных чисел}}{\text{Общее количество чисел}} = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}
]
Шаг 2: Находим вероятность события B в обоих случаях.
a) В – выбранное число делится на 5.
Числа от 1 до 30, которые делятся на 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30. Всего 6 чисел. Поэтому вероятность B:
[
P(B) = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}
]
Теперь найдем вероятность ( P(A \cap B) ) – вероятность того, что число и нечетное, и делится на 5. Не четные числа, которые делятся на 5: 5, 15, 25 (всего 3 числа).
Поэтому:
[
P(A \cap B) = \frac{3}{30} = \frac{1}{10}
]
Теперь проверим независимость:
[
P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{10}
]
Поскольку ( P(A \cap B) = \frac{1}{10} ) и ( P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{10} ), события A и B независимы.
b) В – выбранное число делится на 3.
Числа от 1 до 30, которые делятся на 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 (всего 10 чисел).
Следовательно, вероятность B:
[
P(B) = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}
]
Теперь найдем вероятность ( P(A \cap B) ) – вероятность того, что число и нечетное, и делится на 3. Не четные числа, которые делятся на 3: 3, 9, 15, 21, 27 (всего 5 чисел).
Поэтому:
[
P(A \cap B) = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}
]
Теперь проверим независимость:
[
P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}
]
Поскольку ( P(A \cap B) = \frac{1}{6} ) и ( P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{6} ), события A и B также независимы.
Итог:
- a) События A и B независимы.
- b) События A и B независимы.
