Диспетчер скорой помощи за час приняла 60 звонков. Определи вероятность того, что в течение следующего часа число звонков превысит 78.

Для решения задачи о вероятности, что в следующий час число звонков службам скорой помощи превысит 78, мы можем использовать распределение Пуассона. Это распределение подходит для задач, где мы анализируем количество событий (например, звонков) в фиксированный интервал времени, когда события происходят с постоянной средней интенсивностью.

Шаг 1: Определим параметры распределения Пуассона

Согласно условию, за час было принято 60 звонков. Это значит, что среднее значение (ламда, λ) равняется 60:

\[ \lambda = 60 \]

Шаг 2: Формула вероятности распределения Пуассона

Формула для вероятности того, что в интервале времени \( t \) произойдет \( k \) событий:

\[ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \]

где:

• \( P(X = k) \) — вероятность того, что произойдет \( k \) событий,
• \( e \) — основание натурального логарифма (примерно 2.71828),
• \( k! \) — факториал числа \( k \).

Шаг 3: Найдем вероятность превышения 78 звонков

Мы ищем вероятность того, что число звонков превысит 78, т.е. \( P(X > 78) \).

Согласно правилам вероятности, мы можем выразить это как:

\[ P(X > 78) = 1 - P(X \leq 78) \]

Шаг 4: Вычислим \( P(X \leq 78) \)

Для этого нужно найти сумму вероятностей от 0 до 78:

\[ P(X \leq 78) = \sum_{k=0}^{78} P(X = k) = \sum_{k=0}^{78} \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \]

Шаг 5: Используем статистические таблицы или программное обеспечение

Ручное вычисление такой суммы не является практичным, поэтому обычно для нахождения ( P(X \leq 78) \ используют специальные статистические таблицы для распределения Пуассона или программные средства (например, Python, R, или калькуляторы для статистических вычислений).

Шаг 6: Применение программного обеспечения

Для примера, на Python можно использовать библиотеку scipy:

from scipy.stats import poisson

lambda_value = 60
k = 78

# Вероятность P(X <= 78)
p_less_than_equal_78 = poisson.cdf(k, lambda_value)

# Вероятность P(X > 78)
p_greater_than_78 = 1 - p_less_than_equal_78

print(p_greater_than_78)

Результат

Запустив программу, вы получите значение вероятности того, что число звонков в следующий час превысит 78.

Таким образом, задача сводится к вычислениям, используя данные о среднем количестве звонков (60) и необходимую формулу для распределения Пуассона.