Построй график функции y = ∣ x 2 − x − 6 ∣ y=∣x 2 −x−6∣ и определи, при каком значении m m прямая y = m y=m имеет с графиком ровно три общие точки.

Для того чтобы построить график функции \( y = |x^2 - x - 6| \) и выяснить, при каком значении \( m \) прямая \( y = m \) пересекается с графиком ровно в трех точках, будем следовать следующим шагам.

Шаг 1: Найдем корни квадратного уравнения

Сначала найдем корни уравнения \( x^2 - x - 6 = 0 \):

\[ x^2 - x - 6 = 0 \]

Это уравнение можно решить методом нахождения корней через дискриминант. Дискриминант \( D \) вычисляется по формуле:

\[ D = b^2 - 4ac \]

где \( a = 1 \), \( b = -1 \), \( c = -6 \). Подставляем значения:

\[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \]

Поскольку дискриминант положительный, у уравнения два различных корня:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 5}{2} \]

Это дает нам:

\[ x_1 = \frac{6}{2} = 3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-4}{2} = -2 \]

Шаг 2: Определим интервалы и свойства функции

Теперь у нас есть корни \( x = 3 \) и \( x = -2 \). Эти точки разбивают ось \( x \) на три интервала:

1. \( (-\infty, -2) \)
2. \( (-2, 3) \)
3. \( (3, \infty) \)

В этих интервалах функция \( x^2 - x - 6 \) принимает следующие знаки:

• На интервале \( (-\infty, -2) \) функция положительна.
• На интервале \( (-2, 3) \) функция отрицательна.
• На интервале \( (3, \infty) \) функция снова положительна.

Таким образом, абсолютная функция принимает вид:

\[ y = |x^2 - x - 6| = \begin{cases} -(x^2 - x - 6) & \text{если } -2 < x < 3 \\ x^2 - x - 6 & \text{иначе} \end{cases} \]

Шаг 3: Построение графика функции

На интервале \( (-\infty, -2) \) и \( (3, \infty) \) график будет параболой, направленной вверх, а на интервале \( (-2, 3) \) он будет отражен вниз относительно оси \( x \).

• В точках \( x = -2 \) и \( x = 3 \) график пересекает ось \( x \).
• В вершине параболы (которая будет находиться между \( -2 \) и \( 3 \)) значение функции будет максимальным.

Шаг 4: Найдем количество точек пересечения с прямой \( y = m \)

Теперь рассмотрим прямую \( y = m \). Мы ищем такие значения \( m \), при которых прямая пересекает график функции в трех точках.

• Если \( m \) больше максимального значения графика на интервале \( (-2, 3) \), тогда прямая будет иметь две пересечения в интервалах \( (-\infty, -2) \) и \( (3, \infty) \), а также одно пересечение с графиком на интервале \( (-2, 3) \) — всего три точки.
• Если \( m \) меньше минимального значения графика в том же интервале, то пересечений будет меньше.

Шаг 5: Определение максимума функции

Чтобы найти максимальное значение функции на интервале \( (-2, 3) \), можно вычислить значение функции в середине отрезка (вот будет находиться максимальная точка), которую можно найти с помощью производной, или выбирать значение в среднем между \( -2 \) и \( 3 \):

\[ x = \frac{-2 + 3}{2} = \frac{1}{2} \]

Теперь подставим \( x = \frac{1}{2} \) в функцию:

\[ y = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right) - 6 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 6 = \frac{1 - 2 - 24}{4} = \frac{-25}{4} = -6.25 \]

Следовательно, значение \( m \) должно быть ровно равно \( 0 \), чтобы получить три точки пересечения.

Результат

Таким образом, прямая \( y = m \) будет пересекаться с графиком функции \( y = |x^2 - x - 6| \) в ровно три точки, когда

\[ m = 0 \]