амфитеатре 15 15 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В третьем ряду 12 12 мест, а в шестом ряду 24 24 места. Сколько всего…

Давайте решим задачу шаг за шагом.

1. Определим количество мест в рядах.
   У нас есть 15 рядов, и количество мест в каждом ряду увеличивается на одно и то же число на каждом уровне. Это означает, что мы имеем арифметическую прогрессию.

2. Запишем известные данные:

   • В третьем ряду: 12 мест
   • В шестом ряду: 24 места

3. Найдем разность прогрессии (d):
   Из условия видно, что:

   • Мест в 6-м ряду = Мест в 3-м ряду + 3d
     \[ 24 = 12 + 3d \] Выразим d: \[ 24 - 12 = 3d \implies 12 = 3d \implies d = 4 \]

4. Теперь найдем количество мест в первом ряду (a):
   Используя известное значение для третьего ряда: \[ a + 2d = 12 \] Подставим d: \[ a + 2 \times 4 = 12 \implies a + 8 = 12 \implies a = 4 \]

5. Количество мест в каждом ряду:
   Теперь мы можем записать количество мест в каждом ряду:

   • 1-й ряд: \( a = 4 \)
   • 2-й ряд: \( a + d = 4 + 4 = 8 \)
   • 3-й ряд: \( a + 2d = 12 \)
   • 4-й ряд: \( a + 3d = 4 + 12 = 16 \)
   • 5-й ряд: \( a + 4d = 4 + 16 = 20 \)
   • 6-й ряд: \( a + 5d = 24 \)
   • 7-й ряд: \( a + 6d = 28 \)
   • 8-й ряд: \( a + 7d = 32 \)
   • 9-й ряд: \( a + 8d = 36 \)
   • 10-й ряд: \( a + 9d = 40 \)
   • 11-й ряд: \( a + 10d = 44 \)
   • 12-й ряд: \( a + 11d = 48 \)
   • 13-й ряд: \( a + 12d = 52 \)
   • 14-й ряд: \( a + 13d = 56 \)
   • 15-й ряд: \( a + 14d = 60 \)

6. Суммируем количество мест:
   Чтобы найти общее количество мест в амфитеатре, сложим количество мест в каждом ряду: \[ S = 4 + 8 + 12 + 16 + 20 + 24 + 28 + 32 + 36 + 40 + 44 + 48 + 52 + 56 + 60 \]

7. Упрощаем вычисления:
   Заметим, что это арифметическая прогрессия, где:

   • Первый член \( a = 4 \)
   • Последний член \( l = 60 \)
   • Количество членов \( n = 15 \)

   Формула для суммы арифметической прогрессии: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a + l) = \frac{15}{2} \cdot (4 + 60) \] \[ S = \frac{15}{2} \cdot 64 = 15 \cdot 32 = 480 \]

Таким образом, общее количество мест в амфитеатре составляет 480 мест.