Амфитеатре  15 15 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В третьем ряду  12 12 мест, а в шестом ряду  24 24 места. Сколько всего мест в амфитеатре?

Давайте решим задачу шаг за шагом. 1. **Определим количество мест в рядах.** У нас есть 15 рядов, и количество мест в каждом ряду увеличивается на одно и то же число на каждом уровне. Это означает, что мы имеем арифметическую прогрессию. 2. **Запишем известные данные:** - В третьем ряду: 12 мест - В шестом ряду: 24 места 3. **Найдем разность прогрессии (d):** Из условия видно, что: - Мест в 6-м ряду = Мест в 3-м ряду + 3d \[ 24 = 12 + 3d \] Выразим d: \[ 24 - 12 = 3d \implies 12 = 3d \implies d = 4 \] 4. **Теперь найдем количество мест в первом ряду (a):** Используя известное значение для третьего ряда: \[ a + 2d = 12 \] Подставим d: \[ a + 2 \times 4 = 12 \implies a + 8 = 12 \implies a = 4 \] 5. **Количество мест в каждом ряду:** Теперь мы можем записать количество мест в каждом ряду: - 1-й ряд: \( a = 4 \) - 2-й ряд: \( a + d = 4 + 4 = 8 \) - 3-й ряд: \( a + 2d = 12 \) - 4-й ряд: \( a + 3d = 4 + 12 = 16 \) - 5-й ряд: \( a + 4d = 4 + 16 = 20 \) - 6-й ряд: \( a + 5d = 24 \) - 7-й ряд: \( a + 6d = 28 \) - 8-й ряд: \( a + 7d = 32 \) - 9-й ряд: \( a + 8d = 36 \) - 10-й ряд: \( a + 9d = 40 \) - 11-й ряд: \( a + 10d = 44 \) - 12-й ряд: \( a + 11d = 48 \) - 13-й ряд: \( a + 12d = 52 \) - 14-й ряд: \( a + 13d = 56 \) - 15-й ряд: \( a + 14d = 60 \) 6. **Суммируем количество мест:** Чтобы найти общее количество мест в амфитеатре, сложим количество мест в каждом ряду: \[ S = 4 + 8 + 12 + 16 + 20 + 24 + 28 + 32 + 36 + 40 + 44 + 48 + 52 + 56 + 60 \] 7. **Упрощаем вычисления:** Заметим, что это арифметическая прогрессия, где: - Первый член \( a = 4 \) - Последний член \( l = 60 \) - Количество членов \( n = 15 \) Формула для суммы арифметической прогрессии: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a + l) = \frac{15}{2} \cdot (4 + 60) \] \[ S = \frac{15}{2} \cdot 64 = 15 \cdot 32 = 480 \] Таким образом, общее количество мест в амфитеатре составляет **480 мест**.