В треугольнике АВС угол С равен 45°, АВ=6v2. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Для нахождения радиуса окружности, описанной около треугольника, можно использовать формулу:
\[ R = \frac{abc}{4S} \]
где \( R \) — радиус, \( a, b, c \) — длины сторон треугольника, \( S \) — площадь треугольника.
Мы имеем треугольник ABC с углом \( C = 45° \) и стороной \( AB = c = 6\sqrt{2} \). Остальные стороны ( \( a \) и \( b \) ) нам нужно найти.
Обозначим стороны:
- \( c = AB = 6\sqrt{2} \)
- Пусть \( AC = b \)
- Пусть \( BC = a \)
Используем свойства угла в 45°: Угол \( C \) равен 45°. В таком случае, мы можем использовать теорему о синусах, которая гласит: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]
Где \( A \) и \( B \) — углы при вершинах \( A \) и \( B \), соответственно, и \( C = 45° \). Мы можем выразить \( a \) и \( b \) через сторону \( c \) и синусы углов.
Составим необходимые уравнения: Так как \( \sin C = \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} \), то имеем: \[ \frac{c}{\sin C} = \frac{6\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 6 \cdot 2 = 12 \] Таким образом, находим: \[ a = 12 \sin A \] \[ b = 12 \sin B \]
Используя свойства треугольника, мы знаем, что \( A + B + C = 180° \). Подставляя \( C = 45° \): \[ A + B = 135° \] Таким образом, \( \sin B = \sin(135° - A) \).
Находим площадь S: Площадь треугольника можно выразить через угол и стороны: \[ S = \frac{1}{2}ab \sin C = \frac{1}{2} ab \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Находим \( R \): Теперь, подставив \( a \), \( b \), и \( S \) в формулу для радиуса: \[ R = \frac{abc}{4S} = \frac{ab(6\sqrt{2})}{4 \cdot \frac{1}{2} ab \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{c}{\frac{2}{\sqrt{2}}} = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 6. \]
Таким образом, радиус окружности, описанной около этого треугольника, равен 6.
