Для решения системы уравнений методом сложения нам даны:
- ( 2x^2 - y^2 = 32 )
- ( 2x - y = 8 )
Шаг 1: Выразим одну переменную через другую из второго уравнения
Из второго уравнения выразим ( y ):
[
2x - y = 8 \implies y = 2x - 8
]
Шаг 2: Подставим выражение для ( y ) в первое уравнение
Подставляем ( y = 2x - 8 ) в первое уравнение:
[
2x^2 - (2x - 8)^2 = 32
]
Теперь раскроем скобки:
[
2x^2 - (4x^2 - 32x + 64) = 32
]
Выразим и упростим уравнение:
[
2x^2 - 4x^2 + 32x - 64 = 32
]
[
-2x^2 + 32x - 64 = 32
]
Шаг 3: Преобразуем и решим квадратное уравнение
Добавим 64 к обеим сторонам:
[
-2x^2 + 32x - 64 + 64 = 32 + 64
]
[
-2x^2 + 32x = 96
]
Умножим на (-1) обе стороны:
[
2x^2 - 32x = -96
]
Разделим на 2 для упрощения:
[
x^2 - 16x = -48
]
Переносим все в одну сторону:
[
x^2 - 16x + 48 = 0
]
Шаг 4: Найдем корни квадратного уравнения
Используем дискриминант или теорему Виета:
Дискриминант ( D ) найдем по формуле ( D = b^2 - 4ac ), где ( a = 1, b = -16, c = 48 ).
[
D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48 = 256 - 192 = 64
]
Корни уравнения:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
]
[
x = \frac{16 \pm 8}{2}
]
[
x_1 = \frac{24}{2} = 12
]
[
x_2 = \frac{8}{2} = 4
]
Шаг 5: Найдем ( y ) для каждого случая
Для ( x = 12 ):
( y = 2x - 8 = 2(12) - 8 = 24 - 8 = 16 )
Для ( x = 4 ):
( y = 2x - 8 = 2(4) - 8 = 8 - 8 = 0 )
Ответ:
Система имеет два решения:
- ( x = 12, ; y = 16 )
- ( x = 4, ; y = 0 )
