2х^2 - у^2 =32 и 2х-у=8 реши сист уравнений способом сложения

Для решения системы уравнений методом сложения нам даны:

1. \( 2x^2 - y^2 = 32 \)
2. \( 2x - y = 8 \)

Шаг 1: Выразим одну переменную через другую из второго уравнения

Из второго уравнения выразим \( y \): \[ 2x - y = 8 \implies y = 2x - 8 \]

Шаг 2: Подставим выражение для \( y \) в первое уравнение

Подставляем \( y = 2x - 8 \) в первое уравнение: \[ 2x^2 - (2x - 8)^2 = 32 \]

Теперь раскроем скобки: \[ 2x^2 - (4x^2 - 32x + 64) = 32 \]

Выразим и упростим уравнение: \[ 2x^2 - 4x^2 + 32x - 64 = 32 \]

\[ -2x^2 + 32x - 64 = 32 \]

Шаг 3: Преобразуем и решим квадратное уравнение

Добавим 64 к обеим сторонам: \[ -2x^2 + 32x - 64 + 64 = 32 + 64 \]

\[ -2x^2 + 32x = 96 \]

Умножим на \(-1\) обе стороны: \[ 2x^2 - 32x = -96 \]

Разделим на 2 для упрощения: \[ x^2 - 16x = -48 \]

Переносим все в одну сторону: \[ x^2 - 16x + 48 = 0 \]

Шаг 4: Найдем корни квадратного уравнения

Используем дискриминант или теорему Виета: Дискриминант \( D \) найдем по формуле \( D = b^2 - 4ac \), где \( a = 1, b = -16, c = 48 \).

\[ D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48 = 256 - 192 = 64 \]

Корни уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

\[ x = \frac{16 \pm 8}{2} \]

\[ x_1 = \frac{24}{2} = 12 \]

\[ x_2 = \frac{8}{2} = 4 \]

Шаг 5: Найдем \( y \) для каждого случая

Для \( x = 12 \): \( y = 2x - 8 = 2(12) - 8 = 24 - 8 = 16 \)

Для \( x = 4 \): \( y = 2x - 8 = 2(4) - 8 = 8 - 8 = 0 \)

Ответ:

Система имеет два решения:

1. \( x = 12, \; y = 16 \)
2. \( x = 4, \; y = 0 \)