реши уравнение х³+5х²-4х-20=0
Чтобы решить уравнение \( x^3 + 5x^2 - 4x - 20 = 0 \), можно использовать метод подбора и деления многочленов, а также теорему Безу.
Шаг 1: Определение корней
Сначала попробуем подставить несколько простых значений \( x \), чтобы найти один из корней. Для начала проверим \( x = -2 \):
\[ (-2)^3 + 5(-2)^2 - 4(-2) - 20 = -8 + 20 + 8 - 20 = 0 \]
Получаем, что \( x = -2 \) — корень уравнения.
Шаг 2: Деление многочлена
Теперь, зная, что \( x = -2 \) является корнем, проведем деление многочлена \( x^3 + 5x^2 - 4x - 20 \) на \( x + 2 \) (это соответствует корню, так как \( x + 2 = 0 \) при \( x = -2 \)).
Делим \( x^3 + 5x^2 - 4x - 20 \) на \( x + 2 \):
- Первый шаг: берём старший член \( x^3 \) и делим на \( x \) (получаем \( x^2 \)).
- Умножаем \( x^2 \) на \( x + 2 \) (получаем \( x^3 + 2x^2 \)).
- Вычитаем: \[ (x^3 + 5x^2 - 4x - 20) - (x^3 + 2x^2) = 3x^2 - 4x - 20. \]
Теперь делим \( 3x^2 - 4x - 20 \) на \( x + 2 \):
- Делим \( 3x^2 \) на \( x \) (получаем \( 3x \)).
- Умножаем: \( 3x(x + 2) = 3x^2 + 6x \).
- Вычитаем: \[ (3x^2 - 4x - 20) - (3x^2 + 6x) = -10x - 20. \]
Делим \( -10x - 20 \) на \( x + 2 \):
- Делим \( -10x \) на \( x \) (получаем \( -10 \)).
- Умножаем: \( -10(x + 2) = -10x - 20 \).
- Вычитаем: \[ (-10x - 20) - (-10x - 20) = 0. \]
Шаг 3: Получаем квадратное уравнение
Таким образом, деление завершилось, и мы получили: \[ x^3 + 5x^2 - 4x - 20 = (x + 2)(x^2 + 3x - 10). \]
Шаг 4: Решение квадратного уравнения
Теперь решим квадратное уравнение \( x^2 + 3x - 10 = 0 \) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49. \]
Корни находятся по формуле: \[ x = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{2a} = \frac{{-3 \pm 7}}{2}. \]
Таким образом, находим два корня:
- \( x_1 = \frac{{-3 + 7}}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)
- \( x_2 = \frac{{-3 - 7}}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \)
Итог
Теперь у нас есть три корня уравнения:
- \( x = -2 \)
- \( x = 2 \)
- \( x = -5 \)
Ответ: \[ x_1 = -2, \quad x_2 = 2, \quad x_3 = -5. \]
