Реши уравнение х³+5х²-4х-20=0

Чтобы решить уравнение \( x^3 + 5x^2 - 4x - 20 = 0 \), можно использовать метод подбора и деления многочленов, а также теорему Безу. ### Шаг 1: Определение корней Сначала попробуем подставить несколько простых значений \( x \), чтобы найти один из корней. Для начала проверим \( x = -2 \): \[ (-2)^3 + 5(-2)^2 - 4(-2) - 20 = -8 + 20 + 8 - 20 = 0 \] Получаем, что \( x = -2 \) — корень уравнения. ### Шаг 2: Деление многочлена Теперь, зная, что \( x = -2 \) является корнем, проведем деление многочлена \( x^3 + 5x^2 - 4x - 20 \) на \( x + 2 \) (это соответствует корню, так как \( x + 2 = 0 \) при \( x = -2 \)). 1. **Делим** \( x^3 + 5x^2 - 4x - 20 \) на \( x + 2 \): - **Первый шаг**: берём старший член \( x^3 \) и делим на \( x \) (получаем \( x^2 \)). - Умножаем \( x^2 \) на \( x + 2 \) (получаем \( x^3 + 2x^2 \)). - Вычитаем: \[ (x^3 + 5x^2 - 4x - 20) - (x^3 + 2x^2) = 3x^2 - 4x - 20. \] 2. Теперь делим \( 3x^2 - 4x - 20 \) на \( x + 2 \): - Делим \( 3x^2 \) на \( x \) (получаем \( 3x \)). - Умножаем: \( 3x(x + 2) = 3x^2 + 6x \). - Вычитаем: \[ (3x^2 - 4x - 20) - (3x^2 + 6x) = -10x - 20. \] 3. Делим \( -10x - 20 \) на \( x + 2 \): - Делим \( -10x \) на \( x \) (получаем \( -10 \)). - Умножаем: \( -10(x + 2) = -10x - 20 \). - Вычитаем: \[ (-10x - 20) - (-10x - 20) = 0. \] ### Шаг 3: Получаем квадратное уравнение Таким образом, деление завершилось, и мы получили: \[ x^3 + 5x^2 - 4x - 20 = (x + 2)(x^2 + 3x - 10). \] ### Шаг 4: Решение квадратного уравнения Теперь решим квадратное уравнение \( x^2 + 3x - 10 = 0 \) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49. \] Корни находятся по формуле: \[ x = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{2a} = \frac{{-3 \pm 7}}{2}. \] Таким образом, находим два корня: 1. \( x_1 = \frac{{-3 + 7}}{2} = \frac{4}{2} = 2 \) 2. \( x_2 = \frac{{-3 - 7}}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \) ### Итог Теперь у нас есть три корня уравнения: 1. \( x = -2 \) 2. \( x = 2 \) 3. \( x = -5 \) Ответ: \[ x_1 = -2, \quad x_2 = 2, \quad x_3 = -5. \]