Найдите площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной усечённой пирамиды, стороны оснований которой равны 6 см и 22 см, а боковое ребро — 4√5 см.

Для нахождения площади боковой поверхности правильной четырёхугольной усечённой пирамиды, нам нужно использовать формулу для площади боковой поверхности усеченной пирамиды. В общем виде, площадь боковой поверхности усеченной пирамиды \(S_{\text{бок.}}\) рассчитывается по формуле:

\[ S_{\text{бок.}} = \frac{1}{2} \cdot (P_1 + P_2) \cdot h \]

где:

• \(P_1\) и \(P_2\) — периметры верхнего и нижнего оснований соответственно,
• \(h\) — высота боковой поверхности (или высота усеченной пирамиды).

Шаг 1: Находим периметры оснований

В нашем случае основания — это квадраты, так как пирамиды правильные.

• Для нижнего основания со стороной 22 см: \[ P_2 = 4 \cdot 22 = 88 \text{ см} \]
• Для верхнего основания со стороной 6 см: \[ P_1 = 4 \cdot 6 = 24 \text{ см} \]

Шаг 2: Находим высоту боковой поверхности

Для нахождения высоты \(h\) усеченной пирамиды, мы можем использовать свойства треугольников, образованных боковыми ребрами и высотой боковой поверхности.

Итак, у нас есть боковое ребро \(c = 4\sqrt{5}\) см. Также, чтобы найти высоту боковой поверхности, нам нужно найти длину отрезка, соединяющая центры оснований и длину половины разности сторон оснований:

• Половина разности сторон оснований: \[ \Delta = \frac{22 - 6}{2} = \frac{16}{2} = 8 \text{ см} \]

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза — это боковое ребро, а один катет — это \(\Delta\), и другой катет — высота \(h\).

Используем теорему Пифагора: \[ h = \sqrt{(4\sqrt{5})^2 - 8^2} \]

Посчитаем: \[ (4\sqrt{5})^2 = 80 \quad \text{и} \quad 8^2 = 64 \] \[ h = \sqrt{80 - 64} = \sqrt{16} = 4 \text{ см} \]

Шаг 3: Подсчет площади боковой поверхности

Теперь мы можем подставить известные значения в формулу для площади боковой поверхности: \[ S_{\text{бок.}} = \frac{1}{2} \cdot (P_1 + P_2) \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (24 + 88) \cdot 4 \] \[ = \frac{1}{2} \cdot 112 \cdot 4 = 56 \cdot 4 = 224 \text{ см}^2 \]

Ответ:

Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равна \(224 \, \text{см}^2\).