Для нахождения площади боковой поверхности правильной четырёхугольной усечённой пирамиды, нам нужно использовать формулу для площади боковой поверхности усеченной пирамиды. В общем виде, площадь боковой поверхности усеченной пирамиды (S_{\text{бок.}}) рассчитывается по формуле:
[
S_{\text{бок.}} = \frac{1}{2} \cdot (P_1 + P_2) \cdot h
]
где:
- (P_1) и (P_2) — периметры верхнего и нижнего оснований соответственно,
- (h) — высота боковой поверхности (или высота усеченной пирамиды).
Шаг 1: Находим периметры оснований
В нашем случае основания — это квадраты, так как пирамиды правильные.
- Для нижнего основания со стороной 22 см:
[
P_2 = 4 \cdot 22 = 88 \text{ см}
]
- Для верхнего основания со стороной 6 см:
[
P_1 = 4 \cdot 6 = 24 \text{ см}
]
Шаг 2: Находим высоту боковой поверхности
Для нахождения высоты (h) усеченной пирамиды, мы можем использовать свойства треугольников, образованных боковыми ребрами и высотой боковой поверхности.
Итак, у нас есть боковое ребро (c = 4\sqrt{5}) см. Также, чтобы найти высоту боковой поверхности, нам нужно найти длину отрезка, соединяющая центры оснований и длину половины разности сторон оснований:
- Половина разности сторон оснований:
[
\Delta = \frac{22 - 6}{2} = \frac{16}{2} = 8 \text{ см}
]
Теперь у нас есть прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза — это боковое ребро, а один катет — это (\Delta), и другой катет — высота (h).
Используем теорему Пифагора:
[
h = \sqrt{(4\sqrt{5})^2 - 8^2}
]
Посчитаем:
[
(4\sqrt{5})^2 = 80 \quad \text{и} \quad 8^2 = 64
]
[
h = \sqrt{80 - 64} = \sqrt{16} = 4 \text{ см}
]
Шаг 3: Подсчет площади боковой поверхности
Теперь мы можем подставить известные значения в формулу для площади боковой поверхности:
[
S_{\text{бок.}} = \frac{1}{2} \cdot (P_1 + P_2) \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (24 + 88) \cdot 4
]
[
= \frac{1}{2} \cdot 112 \cdot 4 = 56 \cdot 4 = 224 \text{ см}^2
]
Ответ:
Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равна (224 , \text{см}^2).
