прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом c внешней угол при вершине а равен 120°, AC + AB = 18 см. найдите AC и AB.

Давайте решим задачу, шаг за шагом. У нас есть прямоугольный треугольник ABC с углом C=90°, внешний угол при вершине A равен 120°, и сумма сторон AC и AB равна 18 см. Нам нужно найти, какие длины имеют стороны AC и AB.

1. Определим Стороны и Углы Треугольника:

   • Пусть \( AC = a \) и \( AB = b \).
   • Сумма: \( a + b = 18 \) см.
   • Угол \( C \) — прямой, то есть \( 90^\circ \).
   • Внешний угол \( A \) равен \( 120^\circ \), что важно для нахождения угла \( A \) в самом треугольнике: угол \( A \) внутренний. Вспомним, что внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных углов. Таким образом, угол \( A \): \[ \angle A = 120^\circ - 90^\circ = 30^\circ \]

2. Найдем угол \( B \):

   • Углы в треугольнике суммируются до 180°: \[ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \] \[ 30^\circ + \angle B + 90^\circ = 180^\circ \] \[ \angle B = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \]

3. Используя Тригонометрию, Найдем Стороны:

   • В прямоугольном треугольнике можно использовать функции синуса и косинуса:

     • \( \sin A = \frac{AC}{AB} \) и \( \cos A = \frac{AB}{AC} \).

   • Из угла \( A = 30^\circ \): \[ \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{AC}{AB} = \frac{1}{2} \Rightarrow AC = \frac{1}{2} AB \] Это можно записать как \( AC = \frac{1}{2} b \).

4. Подставим Есть Формулы в Сумму:

   • Подставляем выражение для \( AC \) в уравнение суммы: \[ \frac{1}{2} b + b = 18 \] \[ \frac{3}{2} b = 18 \] \[ b = \frac{18 \cdot 2}{3} = 12 \text{ см} \]

5. Найдём AC:

   • Теперь найдём длину стороны \( AC \): \[ AC = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6 \text{ см} \]

6. Ответ:

   • Длина стороны \( AC \) равна 6 см, а длина стороны \( AB \) равна 12 см.

Таким образом, стороны нашего треугольника имеют следующие длины:

• \( AC = 6 \) см
• \( AB = 12 \) см