У филателиста 10 различных марок. Сколькими способами он может наклеить 3 марки на 6 пронумерованных мест?

Для решения задачи о том, сколько способов филателист может наклеить 3 различные марки на 6 пронумерованных мест, воспользуемся принципами комбинаторики.

1. Выбор мест для марок: Нам нужно выбрать 3 из 6 мест, куда будут приклеены марки. Количество способов выбрать 3 места из 6 можно найти с использованием формулы сочетаний:

   \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

   где \(n\) — общее количество мест (6), \(k\) — количество мест, которые мы выбираем (3).

   Таким образом, вычислим количество способов выбрать 3 места из 6:

   \[ C(6, 3) = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3! \cdot 3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20 \]

2. Размещение марок на выбранные места: После того как выбраны 3 места, мы можем разместить 3 различные марки на этих местах. Поскольку марки различны, мы используем формулу перестановок для размещения 3 марок:

   \[ P(n) = n! \]

   Здесь \(n\) — количество марок (3):

   \[ P(3) = 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 \]

3. Общее количество способов: Теперь, чтобы найти общее количество способов, нужно умножить количество способов выбрать места на количество способов разместить марки:

   \[ \text{Общее количество способов} = C(6, 3) \cdot P(3) = 20 \cdot 6 = 120 \]

Таким образом, филателист может наклеить 3 марки на 6 пронумерованных мест 120 способами.