реши эти задания все
Давайте подробнее разберем каждую задачу.
47.6. Доказать, что функции возрастающие:
Для доказательства, что функция является возрастающей, мы используем первую производную. Если она положительна на всей области определения, то функция возрастает.
\( f(x) = 14 + 5x \)
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(14 + 5x) = 5 \]
Первая производная постоянна и равна 5, что больше 0. Следовательно, функция возрастает.
\( f(x) = 4 + x^3 \)
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(4 + x^3) = 3x^2 \]
Поскольку \( 3x^2 \geq 0 \) для всех значений \( x \), функция не убывает и возрастает на всей области определения.
47.7. Доказать, что функции убывающие:
Если первая производная функции отрицательна на данной области определения, функция убывает.
\( f(x) = -2x + 8 \)
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(-2x + 8) = -2 \]
Первая производная равна -2, что меньше 0. Следовательно, функция убывает.
\( f(x) = \frac{5}{x} - 11 \)
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{5}{x} - 11\right) = -\frac{5}{x^2} \]
Для \( x \neq 0 \), \(-\frac{5}{x^2} < 0\). Таким образом, функция убывает.
47.8. Найдите промежутки возрастания функции \( y = f(x) \):
\( f(x) = x^2 - 0.49 \)
Для поиска интервалов возрастания, находим первую производную и решаем неравенство.
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - 0.49) = 2x \]
\[ 2x > 0 \implies x > 0 \]
Функция возрастает на интервале \( (0, +\infty) \).
47.9. Найдите промежутки убывания функции \( y = f(x) \):
\( f(x) = -0.64x + x^3 \)
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(-0.64x + x^3) = 3x^2 - 0.64 \]
Найдем нули производной:
\[ 3x^2 - 0.64 = 0 \implies x^2 = \frac{0.64}{3} \]
Для убывания:
\[ 3x^2 - 0.64 < 0 \implies x^2 < \frac{0.64}{3} \implies |x| < \sqrt{\frac{0.64}{3}} \]
Точные числа могут меняться в зависимости от округлений, но функция убывает на интервале \( \left(-\sqrt{\frac{0.64}{3}}, \sqrt{\frac{0.64}{3}}\right) \).
