Реши эти задания все

Давайте подробнее разберем каждую задачу. ### 47.6. Доказать, что функции возрастающие: Для доказательства, что функция является возрастающей, мы используем первую производную. Если она положительна на всей области определения, то функция возрастает. 1) \( f(x) = 14 + 5x \) \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(14 + 5x) = 5 \] Первая производная постоянна и равна 5, что больше 0. Следовательно, функция возрастает. 2) \( f(x) = 4 + x^3 \) \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(4 + x^3) = 3x^2 \] Поскольку \( 3x^2 \geq 0 \) для всех значений \( x \), функция не убывает и возрастает на всей области определения. ### 47.7. Доказать, что функции убывающие: Если первая производная функции отрицательна на данной области определения, функция убывает. 1) \( f(x) = -2x + 8 \) \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(-2x + 8) = -2 \] Первая производная равна -2, что меньше 0. Следовательно, функция убывает. 2) \( f(x) = \frac{5}{x} - 11 \) \[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{5}{x} - 11\right) = -\frac{5}{x^2} \] Для \( x \neq 0 \), \(-\frac{5}{x^2} < 0\). Таким образом, функция убывает. ### 47.8. Найдите промежутки возрастания функции \( y = f(x) \): \( f(x) = x^2 - 0.49 \) Для поиска интервалов возрастания, находим первую производную и решаем неравенство. \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - 0.49) = 2x \] \[ 2x > 0 \implies x > 0 \] Функция возрастает на интервале \( (0, +\infty) \). ### 47.9. Найдите промежутки убывания функции \( y = f(x) \): \( f(x) = -0.64x + x^3 \) \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(-0.64x + x^3) = 3x^2 - 0.64 \] Найдем нули производной: \[ 3x^2 - 0.64 = 0 \implies x^2 = \frac{0.64}{3} \] Для убывания: \[ 3x^2 - 0.64 < 0 \implies x^2 < \frac{0.64}{3} \implies |x| < \sqrt{\frac{0.64}{3}} \] Точные числа могут меняться в зависимости от округлений, но функция убывает на интервале \( \left(-\sqrt{\frac{0.64}{3}}, \sqrt{\frac{0.64}{3}}\right) \).