Из точки М к окружности с центром О проведены касательные МА и МВ. Найдите расстояние между точками касания А и В, если AOB = 60°, MA = 9. Запишите решение и ответ.

Для решения данной задачи рассмотрим следующую информацию: 1. **Определения**: - Касательные к окружности из одной точки (в данном случае, точки М) равны. То есть, \( MA = MB \). - Угол между радиусами, проведенными в точки касания (AO и BO), равен углу \( AOB \). 2. **Данные**: - Длина касательной \( MA = 9 \). - Угол \( AOB = 60^\circ \). 3. **Необходимая величина**: - Нужно найти расстояние между точками касания \( A \) и \( B \). ### Шаги решения: 1. **Сравниваем длины касательных**: - Поскольку \( MA = MB = 9 \), можно использовать эти значения в дальнейшем. 2. **Рассмотрим треугольник MAB**: - В этом треугольнике \( MA \) и \( MB \) — это касательные, а \( AB \) — это искомое расстояние между точками касания. Угол \( AOB = 60^\circ \) — это угол между радиусами \( OA \) и \( OB \). - Мы можем использовать закон косинусов в треугольнике \( MAB \): \[ AB^2 = MA^2 + MB^2 - 2 \cdot MA \cdot MB \cdot \cos(AOB) \] 3. **Подставляем значения**: \[ AB^2 = 9^2 + 9^2 - 2 \cdot 9 \cdot 9 \cdot \cos(60^\circ) \] Напомним, что \( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \): \[ AB^2 = 81 + 81 - 2 \cdot 9 \cdot 9 \cdot \frac{1}{2} \] \[ AB^2 = 81 + 81 - 81 = 81 \] 4. **Находим \( AB \)**: Теперь извлечем корень из \( AB^2 \): \[ AB = \sqrt{81} = 9 \] ### Ответ: Таким образом, расстояние между точками касания \( A \) и \( B \) равно \( 9 \) единицам.