Найдите значение выражения: 8 cos ( π − γ ) + 2 sin ( 3 π 2 + γ ) cos ( γ + 11 π )
Давайте решим выражение шаг за шагом:
Дано:
Выражение:
\[ 8 \cos(\pi - \gamma) + 2 \sin\left(\frac{3\pi}{2} + \gamma\right) \cos(\gamma + 11\pi) \]
Шаг 1: Упростим \( \cos(\pi - \gamma) \)
По формуле приведения:
\[ \cos(\pi - x) = -\cos(x) \]
Таким образом:
\[ \cos(\pi - \gamma) = -\cos(\gamma) \]
Подставим это в выражение:
\[ 8(-\cos(\gamma)) = -8 \cos(\gamma) \]
Теперь выражение выглядит так:
\[ -8 \cos(\gamma) + 2 \sin\left(\frac{3\pi}{2} + \gamma\right) \cos(\gamma + 11\pi) \]
Шаг 2: Упростим \( \sin\left(\frac{3\pi}{2} + \gamma\right) \)
По формуле приведения также знаем:
\[ \sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\cos(x) \]
Таким образом:
\[ \sin\left(\frac{3\pi}{2} + \gamma\right) = -\cos(\gamma) \]
Подставляем в выражение:
\[ -8 \cos(\gamma) + 2(-\cos(\gamma)) \cos(\gamma + 11\pi) \]
Шаг 3: Упростим \( \cos(\gamma + 11\pi) \)
С учетом того, что:
\[ \cos(x + 2\pi n) = \cos(x) \text{ (где } n \text{ - любое целое число )} \]
При \( n = 5 \) (поскольку \( 11 \pi = 10 \pi + \pi = 5 \cdot 2\pi + \pi \)):
\[ \cos(\gamma + 11\pi) = \cos(\gamma + \pi) = -\cos(\gamma) \]
Шаг 4: Подставим значение косинуса
Теперь у нас:
\[ -8 \cos(\gamma) + 2(-\cos(\gamma))(-\cos(\gamma)) \]
Упрощаем:
\[ -8 \cos(\gamma) + 2 \cos^2(\gamma) \]
Шаг 5: Итоговое выражение
Теперь выразим итог:
\[ 2 \cos^2(\gamma) - 8 \cos(\gamma) \]
Это решение можно также оставить в виде:
\[ 2 (\cos^2(\gamma) - 4 \cos(\gamma)) \]
Заключение
Таким образом, финальное значение данного выражения:
\[ 2 \cos^2(\gamma) - 8 \cos(\gamma) \]
Если у вас будут вопросы или нужно узнать что-то дополнительно, не стесняйтесь спрашивать!
