(1/3)²+(2⁵/3⁶)³:(4/9)⁸
Давайте разберем данное выражение шаг за шагом. Нам нужно вычислить \( \left( \frac{1}{3} \right)^2 + \left( \frac{2^5}{3^6} \right)^3 : \left( \frac{4}{9} \right)^8 \).
Шаг 1: Преобразуем каждую часть выражения
Первый член: \( \left( \frac{1}{3} \right)^2 \) \[ \left( \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{1^2}{3^2} = \frac{1}{9} \]
Второй член: \( \left( \frac{2^5}{3^6} \right)^3 \) \[ \left( \frac{2^5}{3^6} \right)^3 = \frac{2^{5 \cdot 3}}{3^{6 \cdot 3}} = \frac{2^{15}}{3^{18}} \]
Третий член: \( \left( \frac{4}{9} \right)^8 \) \[ \left( \frac{4}{9} \right)^8 = \frac{4^8}{9^8} = \frac{(2^2)^8}{(3^2)^8} = \frac{2^{16}}{3^{16}} \]
Шаг 2: Объединим все части выражения
Теперь у нас есть: \[ \frac{1}{9} + \frac{2^{15}}{3^{18}} : \frac{2^{16}}{3^{16}} \]
Прежде чем переходить к делению, упростим второе выражение. Деление дробей можно записать как умножение на обратную дробь: \[ \frac{2^{15}}{3^{18}} : \frac{2^{16}}{3^{16}} = \frac{2^{15}}{3^{18}} \cdot \frac{3^{16}}{2^{16}} \] Теперь упрощаем: \[ = \frac{2^{15} \cdot 3^{16}}{3^{18} \cdot 2^{16}} = \frac{3^{16}}{3^{18} \cdot 2^{16 - 15}} = \frac{3^{16}}{3^{18} \cdot 2^1} = \frac{3^{16 - 18}}{2} = \frac{3^{-2}}{2} = \frac{1}{2 \cdot 3^2} = \frac{1}{2 \cdot 9} = \frac{1}{18} \]
Шаг 3: Сложим два полученных значения
Теперь у нас есть: \[ \frac{1}{9} + \frac{1}{18} \]
Чтобы сложить дроби, найдём общий знаменатель. Общий знаменатель для 9 и 18 — это 18.
- Преобразуем первую дробь: \[ \frac{1}{9} = \frac{2}{18} \]
Теперь можно складывать: \[ \frac{2}{18} + \frac{1}{18} = \frac{2 + 1}{18} = \frac{3}{18} = \frac{1}{6} \]
Ответ
Таким образом, итоговое значение нашего выражения: \[ \left( \frac{1}{3} \right)^2 + \left( \frac{2^5}{3^6} \right)^3 : \left( \frac{4}{9} \right)^8 = \frac{1}{6} \]
