В нашем классе 35 учеников. За первую четверть пятерки по русскому языку имели 14 учеников, по математике 12; по истории 23. По русскому и математике 4; по математике и истории 9; по русскому языку и истории 5. Сколько учеников имеют пятерки по всем трем предметам, если в классе нет ни одного ученика, не имеющего пятерки хотя бы по одному из этих предметов?

Для решения этой задачи используем принцип включения-исключения. Определим переменные: - \( A \): множество учеников, имеющих пятерки по русскому языку. - \( B \): множество учеников, имеющих пятерки по математике. - \( C \): множество учеников, имеющих пятерки по истории. По условию задачи у нас есть следующие данные: - \( |A| = 14 \) (ученики с пятерками по русскому языку) - \( |B| = 12 \) (ученики с пятерками по математике) - \( |C| = 23 \) (ученики с пятерками по истории) - \( |A \cap B| = 4 \) (ученики с пятерками по обоим предметам: русскому и математике) - \( |B \cap C| = 9 \) (ученики с пятерками по обоим предметам: математике и истории) - \( |C \cap A| = 5 \) (ученики с пятерками по обоим предметам: русскому и истории) Нам необходимо найти количество учеников, имеющих пятерки по всем трем предметам, то есть значение \( |A \cap B \cap C| \). Обозначим: - \( x = |A \cap B \cap C| \) — число учеников, имеющих пятерки по всем трем предметам. Теперь, по формуле включения-исключения, мы можем выразить общее количество учеников: \[ |A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |B \cap C| - |C \cap A| + |A \cap B \cap C| \] Подставим известные значения: \[ |A \cup B \cup C| = 14 + 12 + 23 - 4 - 9 - 5 + x \] Сложим и упростим: \[ |A \cup B \cup C| = 49 - 18 + x = 31 + x \] Так как в классе 35 учеников и все из них имеют хотя бы одну пятерку, то: \[ |A \cup B \cup C| = 35 \] Приравняем это к нашему уравнению: \[ 31 + x = 35 \] Вычтем 31 из обеих сторон: \[ x = 4 \] Таким образом, число учеников, имеющих пятерки по всем трем предметам, равно **4**.