В нашем классе 35 учеников. За первую четверть пятерки по русскому языку имели 14 учеников, по математике 12; по истории 23. По русскому и математике 4; по математике и истории 9;…

Для решения этой задачи используем принцип включения-исключения. Определим переменные:

• \( A \): множество учеников, имеющих пятерки по русскому языку.
• \( B \): множество учеников, имеющих пятерки по математике.
• \( C \): множество учеников, имеющих пятерки по истории.

По условию задачи у нас есть следующие данные:

• \( |A| = 14 \) (ученики с пятерками по русскому языку)
• \( |B| = 12 \) (ученики с пятерками по математике)
• \( |C| = 23 \) (ученики с пятерками по истории)
• \( |A \cap B| = 4 \) (ученики с пятерками по обоим предметам: русскому и математике)
• \( |B \cap C| = 9 \) (ученики с пятерками по обоим предметам: математике и истории)
• \( |C \cap A| = 5 \) (ученики с пятерками по обоим предметам: русскому и истории)

Нам необходимо найти количество учеников, имеющих пятерки по всем трем предметам, то есть значение \( |A \cap B \cap C| \).

Обозначим:

• \( x = |A \cap B \cap C| \) — число учеников, имеющих пятерки по всем трем предметам.

Теперь, по формуле включения-исключения, мы можем выразить общее количество учеников:

\[ |A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |B \cap C| - |C \cap A| + |A \cap B \cap C| \]

Подставим известные значения:

\[ |A \cup B \cup C| = 14 + 12 + 23 - 4 - 9 - 5 + x \]

Сложим и упростим:

\[ |A \cup B \cup C| = 49 - 18 + x = 31 + x \]

Так как в классе 35 учеников и все из них имеют хотя бы одну пятерку, то:

\[ |A \cup B \cup C| = 35 \]

Приравняем это к нашему уравнению:

\[ 31 + x = 35 \]

Вычтем 31 из обеих сторон:

\[ x = 4 \]

Таким образом, число учеников, имеющих пятерки по всем трем предметам, равно 4.