Чтобы определить, являются ли события ( C ) и ( D ) независимыми, мы должны рассмотреть вероятность каждого события и совместную вероятность событий ( C ) и ( D ).
Событие ( C ) — это выбор четного числа. В диапазоне от 1 до 24 четные числа: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24 (всего 12 четных чисел).
Общее количество возможных чисел – 24. Таким образом,
[
P(C) = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}.
]
Теперь рассмотрим событие ( D ).
А) Событие ( D ): число делится на 3
Числа от 1 до 24, которые делятся на 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24 (всего 8 чисел). То есть,
[
P(D) = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}.
]
Теперь найдем вероятность совместного события ( C \cap D ) — четное число, делящееся на 3. Четные числа, которые также делятся на 3, это: 6, 12, 18, 24 (всего 4 числа). Таким образом,
[
P(C \cap D) = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}.
]
Теперь проверим, независимы ли события ( C ) и ( D ):
События независимы, если
[
P(C \cap D) = P(C) \cdot P(D).
]
Проверим:
[
P(C) \cdot P(D) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}.
]
Так как ( P(C \cap D) = \frac{1}{6} ), события ( C ) и ( D ) независимы.
Б) Событие ( D ): число делится на 7
Теперь рассматриваем событие ( D ) для чисел, которые делятся на 7. Числа от 1 до 24, делящиеся на 7: 7, 14, 21 (всего 3 числа). Таким образом,
[
P(D) = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}.
]
Теперь найдем вероятность совместного события ( C \cap D ) — четное число, делящееся на 7. Четные числа, которые также делятся на 7: 14 (всего 1 число). Таким образом,
[
P(C \cap D) = \frac{1}{24}.
]
Проверим независимость:
[
P(C) \cdot P(D) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{16}.
]
Сравним:
[
P(C \cap D) \neq P(C) \cdot P(D),
]
поскольку ( \frac{1}{24} \neq \frac{1}{16} ). Следовательно, события ( C ) и ( D ) не являются независимыми.
Ответы:
A) События ( C ) и ( D ) независимы.
Б) События ( C ) и ( D ) не являются независимыми.
