.

Чтобы понять задачу, разберём её по частям: ### Задача На доске размером \(10 \times 9\) стоит фишка. Миша сдвинул её по диагонали на одну клетку (в произвольном направлении). После этого на одной клетке может оказаться несколько фишек, а другие могут быть свободны. Найти минимально возможное число свободных клеток. ### Разбор 1. **Фишка и движение**: - Шаг фишки на диагональ может выглядеть как \( \pm 1 \) по столбцу и \( \pm 1 \) по строке. - После одного хода с каждой начальной клетки фишка окажется на одной из четырёх соседних диагональных клеток. 2. **Множественные перемещения**: - Учитывая размер доски, каждый раз при перемещении фишка может посещать новую клетку, либо клетку, где она уже была. - Конечная цель — упаковать фишки таким образом, чтобы минимально возможное количество клеток осталось без фишек, но на одной клетке могло быть несколько фишек. 3. **Число диагональных ходов**: - Самое интересное — как можно расположить фишки так, чтобы минимизировать количество пустых клеток? - Максимальное количество клеток одной диагонали \(10\) и другой \(9\) создают сетку пересечений. 4. **Решение задачи**: - На каждом ходе фишка может занимать одну из клеток диагонали, и чтобы были заняты все возможные клеточки через диагональные движения, можно покрыть диагональными перемещениями все клетки. - В сложной перемещаемой системе, где мы можем начать создавать перекрытия через различные диагональные шаги, мы в итоге придём к возможности заполнения по всем диагоналям, создавая сетки пересечений. ### Ответ Минимально возможное число свободных клеток — это такое, когда фишки будут на всех клетках одного цвета (если представить шахматную доску). Учитывая шаги и клетки, раскрашенные в шахматном порядке (белые и черные), после нескольких передвижений, можно заполнить фишками клетки одного цвета. Таким образом, **минимально возможное количество свободных клеток** равно количеству клеток, оставшихся другого цвета. Для \(10 \times 9\) шахматной доски будет \(45\) клеток одного цвета и \(45\) другого. Так что минимально возможное число свободных клеток — **45**.