В погребе хранилось несколько головок сыра. Ночью пришли мышки и съели 4 головки сыра, причём все съели поровну. Следующей ночью пришли не все мышки, а только 9, и доели…

Давайте разберем эту задачу шаг за шагом.

Обозначим количество головок сыра, которое хранилось в погребе изначально, как \( x \).

1. Первая ночь:
   Мышки съели 4 головки сыра, и все они съели поровну. Это означает, что если всего мышек было \( n \), то каждая мышка съела \( \frac{4}{n} \) головок сыра.

   После первой ночи в погребе осталось: \[ x - 4 \]

2. Вторая ночь:
   На следующую ночь пришли только 9 мышек. Они доели оставшийся сыр, который составил \( x - 4 \). Каждая из этих 9 мышек съела в два раза меньше сыра, чем одна мышка на первой ночи. Значит, каждая мышка съела: \[ \frac{4}{n} \div 2 = \frac{4}{2n} = \frac{2}{n} \]

   Таким образом, общее количество сыра, которое съели 9 мышек, составило: \[ 9 \cdot \frac{2}{n} = \frac{18}{n} \]

3. Уравнение для количества сыров:
   Так как 9 мышек доели весь оставшийся сыр, мы можем записать уравнение: \[ x - 4 = \frac{18}{n} \]

4. Теперь у нас есть система уравнений:
   Мы знаем, что \( n \) (количество мышек) должно быть натуральным числом, и мы можем выразить \( n \) через \( x \): \[ n = \frac{18}{x - 4} \]

   При этом \( n \) должно быть целым числом, значит \( x - 4 \) должно быть делителем 18. Возможные делители 18: 1, 2, 3, 6, 9 и 18.

Подставляя делители \( d \) в \( x - 4 = d \) и решая для \( x \):

• Если \( d = 1 \): \( x - 4 = 1 \) \(\Rightarrow\) \( x = 5 \)
• Если \( d = 2 \): \( x - 4 = 2 \) \(\Rightarrow\) \( x = 6 \)
• Если \( d = 3 \): \( x - 4 = 3 \) \(\Rightarrow\) \( x = 7 \)
• Если \( d = 6 \): \( x - 4 = 6 \) \(\Rightarrow\) \( x = 10 \)
• Если \( d = 9 \): \( x - 4 = 9 \) \(\Rightarrow\) \( x = 13 \)
• Если \( d = 18 \): \( x - 4 = 18 \) \(\Rightarrow\) \( x = 22 \)

Далее подставим вероятные значения \( x \) в \( n \):

• \( x = 5 \): \( n = \frac{18}{1} = 18 \) (целое)
• \( x = 6 \): \( n = \frac{18}{2} = 9 \) (целое)
• \( x = 7 \): \( n = \frac{18}{3} = 6 \) (целое)
• \( x = 10 \): \( n = \frac{18}{6} = 3 \) (целое)
• \( x = 13 \): \( n = \frac{18}{9} = 2 \) (целое)
• \( x = 22 \): \( n = \frac{18}{18} = 1 \) (целое)

5. Верные значения:
   Для значений \( x = 5, 6, 7, 10, 13, 22 \) - все они подходят, но нужно выбрать значение, которое наиболее реалистично в контексте задачи. Поскольку 22 головки может показаться избытком, а 5 - слишком мало для ситуации, вероятно, что подходящее число - 10 головок сыра.

Таким образом, количество головок сыра, которое хранилось в погребе, составляет: \[ \boxed{10} \]