опыт состоит из бросали трех монет и подсчёта числа выпавших орлов это число считают результатом опыта. найдите математическое ожидание случайной величины S число выпавших орлов

Чтобы найти математическое ожидание случайной величины \( S \) (число выпавших орлов) при бросании трех монет, давайте разберемся с задачей поэтапно.

Шаг 1: Определим случайные величины

При бросании одной монеты у нас есть два возможных результата: орел (обозначим его как 1) и решка (обозначим как 0).

Когда мы бросаем три монеты, величина \( S \) может принимать значения от 0 до 3, в зависимости от того, сколько раз выпал орел.

Шаг 2: Найдем вероятности для каждого значения \( S \)

Теперь давайте определим возможные значения случайной величины \( S \) и их вероятности:

• \( S = 0 \): Все три монеты показали решку. Вероятность этого события: \[ P(S=0) = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} \]

• \( S = 1 \): Одна монета показала орла, а две — решку. Количество способов выбрать одну монету из трех: \[ P(S=1) = \binom{3}{1} \left(\frac{1}{2}\right)^1 \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 3 \cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{8} \]

• \( S = 2 \): Две монеты показали орла, а одна — решку. Количество способов выбрать две монеты из трех: \[ P(S=2) = \binom{3}{2} \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(\frac{1}{2}\right)^1 = 3 \cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{8} \]

• \( S = 3 \): Все три монеты показали орла. Вероятность этого события: \[ P(S=3) = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} \]

Теперь мы можем записать все вероятности:

• \( P(S=0) = \frac{1}{8} \)
• \( P(S=1) = \frac{3}{8} \)
• \( P(S=2) = \frac{3}{8} \)
• \( P(S=3) = \frac{1}{8} \)

Шаг 3: Рассчитаем математическое ожидание

Математическое ожидание \( E(S) \) вычисляется по формуле: \[ E(S) = \sum_{i=0}^{3} i \cdot P(S=i) \] Подставляем наши значения: \[ E(S) = 0 \cdot P(S=0) + 1 \cdot P(S=1) + 2 \cdot P(S=2) + 3 \cdot P(S=3) \] \[ E(S) = 0 \cdot \frac{1}{8} + 1 \cdot \frac{3}{8} + 2 \cdot \frac{3}{8} + 3 \cdot \frac{1}{8} \] \[ E(S) = 0 + \frac{3}{8} + \frac{6}{8} + \frac{3}{8} \] \[ E(S) = \frac{3 + 6 + 3}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1.5 \]

Ответ

Математическое ожидание числа выпавших орлов при бросании трех монет составляет \( 1.5 \).

Таким образом, в среднем при 3 бросках монет вы получите 1.5 орла.