Стороны оснований правильной усеченной четырехугольной пирамиды равны 2 м и 8 м. Боковое ребро равно 5 м. Найдите площадь полной поверхности и высоту пирамиды. Ответ

Для нахождения площади полной поверхности и высоты правильной усеченной четырехугольной пирамиды, давайте разберем задачу шаг за шагом.

Данные:

• Длина стороны верхнего основания (меньшего квадрата) \( a = 2 \) м
• Длина стороны нижнего основания (большего квадрата) \( b = 8 \) м
• Длина бокового ребра \( c = 5 \) м

1. Высота пирамиды

Для нахождения высоты усеченной пирамиды воспользуемся прямоугольным треугольником. В этом треугольнике:

• Одна сторона — это разность радиусов оснований (полуразности сторон).
• Вторая сторона — это высота пирамиды.
• Гипотенуза — это боковое ребро.

Найдём половину разности сторон оснований: \[ \frac{b - a}{2} = \frac{8 - 2}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ м} \]

Теперь обозначим высоту пирамиды за \( h \). Применяем теорему Пифагора: \[ c^2 = h^2 + \left(\frac{b - a}{2}\right)^2 \] Подставим известные значения: \[ 5^2 = h^2 + 3^2 \] \[ 25 = h^2 + 9 \] \[ h^2 = 25 - 9 = 16 \] \[ h = \sqrt{16} = 4 \text{ м} \]

2. Площадь полной поверхности

Чтобы найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды, необходимо сложить площадь основания, площадь верхнего основания и площадь боковой поверхности.

Площадь нижнего основания (большого квадрата): \[ S_{нижнее} = b^2 = 8^2 = 64 \text{ м}^2 \]

Площадь верхнего основания (малого квадрата): \[ S_{верхнее} = a^2 = 2^2 = 4 \text{ м}^2 \]

Площадь боковой поверхности:

Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды можно найти по формуле: \[ S_{боковая} = \frac{1}{2} \cdot (P_{в} + P_{н}) \cdot l \] где \( P_{в} \) и \( P_{н} \) — периметры верхнего и нижнего оснований, соответственно, а \( l \) — образующая (в нашем случае это боковое ребро \( c \)).

Периметры оснований: \[ P_{в} = 4a = 4 \cdot 2 = 8 \text{ м} \] \[ P_{н} = 4b = 4 \cdot 8 = 32 \text{ м} \]

Подставим значения в формулу площади боковой поверхности: \[ S_{боковая} = \frac{1}{2} \cdot (8 + 32) \cdot 5 \] \[ = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 5 = 100 \text{ м}^2 \]

3. Площадь полной поверхности:

Теперь найдем общую площадь: \[ S_{полная} = S_{нижнее} + S_{верхнее} + S_{боковая} \] \[ S_{полная} = 64 + 4 + 100 = 168 \text{ м}^2 \]

Ответ

• Высота пирамиды \( h = 4 \) м
• Площадь полной поверхности \( S_{полная} = 168 \text{ м}^2 \)

Таким образом, мы нашли высоту усеченной пирамиды и площадь её полной поверхности.