В треугольнике ABC угол C равен 90 ∘ , AB = 4 , sin ( B ) = √ 55 8 . Найдите BC .
В данном задании нам нужно найти длину стороны \( BC \) в прямоугольном треугольнике \( ABC \), где угол \( C \) равен \( 90^\circ \), сторона \( AB = 4 \) и \( \sin(B) = \frac{\sqrt{55}}{8} \).
Определим необходимые стороны: В прямоугольном треугольнике с углом \( C \):
- Сторона \( AB \) является гипотенузой (так как это противолежащая сторона для прямого угла).
- Стороны \( AC \) и \( BC \) — это катеты.
Вспомним определение синуса: Для угла \( B \) в треугольнике: \[ \sin(B) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB} \] С учетом данных из условия: \[ \sin(B) = \frac{AC}{4} \] Подставим значение \( \sin(B) \): \[ \frac{\sqrt{55}}{8} = \frac{AC}{4} \]
Найдём \( AC \): Умножим обе стороны на \( 4 \): \[ AC = 4 \cdot \frac{\sqrt{55}}{8} = \frac{4\sqrt{55}}{8} = \frac{\sqrt{55}}{2} \]
Теперь можем найти катет \( BC \): Используем теорему Пифагора: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \] Подставим значения: \[ 4^2 = \left(\frac{\sqrt{55}}{2}\right)^2 + BC^2 \] Вычисляем \( AB^2 \): \[ 16 = \frac{55}{4} + BC^2 \]
Приведем все к одной стороне: Перепишем уравнение: \[ BC^2 = 16 - \frac{55}{4} \] Переведем 16 в дробь с одинаковым знаменателем: \[ 16 = \frac{64}{4} \] Теперь уравнение выглядит так: \[ BC^2 = \frac{64}{4} - \frac{55}{4} = \frac{64 - 55}{4} = \frac{9}{4} \]
Теперь найдём \( BC \): Извлекаем корень: \[ BC = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2} \]
Таким образом, длина стороны \( BC \) равна \( \frac{3}{2} \).
Ответ: \[ \boxed{\frac{3}{2}} \]
