В треугольнике ABC угол C равен 90 ∘ , sin ( A ) = 15 √ 9634 . Найдите тангенс угла B .

Давайте подробно решим задачу, которая касается треугольника ABC с прямым углом C.

Дано:

• Угол C равен 90° (ABC — прямоугольный треугольник).
• \(\sin(A) = \frac{15}{\sqrt{9634}}\).

Цель:

Найти \(\tan(B)\).

Решение:

1. Определим основные соотношения: В прямоугольном треугольнике применяются следующие тригонометрические функции:

   • \(\sin(A) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}\)
   • \(\cos(A) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}\)
   • \(\tan(A) = \frac{\sin(A)}{\cos(A)}\)

   Также важно помнить, что в любом прямоугольном треугольнике верно следующее свойство: \[ A + B = 90° \] что означает, что \(\tan(B) = \cot(A)\).

2. Находим \(\sin(A)\): У нас уже есть \(\sin(A) = \frac{15}{\sqrt{9634}}\).

3. Найдём \(\cos(A)\): Для этого мы можем использовать теорему Пифагора. Так как \(\sin^2(A) + \cos^2(A) = 1\), сначала найдём \(\cos(A)\): \[ \cos^2(A) = 1 - \sin^2(A) \] Подставим значение \(\sin(A)\): \[ \cos^2(A) = 1 - \left(\frac{15}{\sqrt{9634}}\right)^2 \] \[ = 1 - \frac{225}{9634} = \frac{9634 - 225}{9634} = \frac{9409}{9634} \]

   Следовательно, \[ \cos(A) = \sqrt{\frac{9409}{9634}} = \frac{\sqrt{9409}}{\sqrt{9634}} = \frac{97}{\sqrt{9634}} \] Здесь \(\sqrt{9409} = 97\), так как \(97^2 = 9409\).

4. Находим \(\tan(A)\): Теперь мы можем найти \(\tan(A)\): \[ \tan(A) = \frac{\sin(A)}{\cos(A)} = \frac{\frac{15}{\sqrt{9634}}}{\frac{97}{\sqrt{9634}}} = \frac{15}{97} \]

5. Находим \(\tan(B)\): Поскольку \(\tan(B) = \cot(A)\) и \(\cot(A) = \frac{1}{\tan(A)}\), то: \[ \tan(B) = \frac{1}{\tan(A)} = \frac{97}{15} \]

Ответ:

\(\tan(B) = \frac{97}{15}\)