3. Найдите скалярное произведение а• b, если |ā| = 9, b = 16, (@b)= 135°.
Чтобы найти скалярное произведение векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \), мы можем использовать формулу:
\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}| \cdot \cos(\theta) \]
где:
- \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \) — скалярное произведение векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \),
- \( |\mathbf{a}| \) — длина вектора \( \mathbf{a} \),
- \( |\mathbf{b}| \) — длина вектора \( \mathbf{b} \),
- \( \theta \) — угол между векторами \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \).
Дано:
- \( |\mathbf{a}| = 9 \)
- \( |\mathbf{b}| = 16 \)
- \( \theta = 135^\circ \)
Шаг 1: Найдем косинус угла
Для нахождения косинуса \( \theta \) используем таблицу косинусов или калькулятор:
\[ \cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \]
Шаг 2: Подставим данные в формулу
Теперь подставим все известные значения в формулу для скалярного произведения:
\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}| \cdot \cos(\theta) \]
\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 9 \cdot 16 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \]
Шаг 3: Выполним расчеты
Сначала перемножим длины векторов:
\[ 9 \cdot 16 = 144 \]
Теперь подставляем назад:
\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 144 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -72\sqrt{2} \]
Итог
Скалярное произведение \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \) равно:
\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = -72\sqrt{2} \]
Таким образом, мы нашли скалярное произведение векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \).
