Чтобы найти скалярное произведение векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ), мы можем использовать формулу:
[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}| \cdot \cos(\theta)
]
где:
- ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} ) — скалярное произведение векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ),
- ( |\mathbf{a}| ) — длина вектора ( \mathbf{a} ),
- ( |\mathbf{b}| ) — длина вектора ( \mathbf{b} ),
- ( \theta ) — угол между векторами ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ).
Дано:
- ( |\mathbf{a}| = 9 )
- ( |\mathbf{b}| = 16 )
- ( \theta = 135^\circ )
Шаг 1: Найдем косинус угла
Для нахождения косинуса ( \theta ) используем таблицу косинусов или калькулятор:
[
\cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}
]
Шаг 2: Подставим данные в формулу
Теперь подставим все известные значения в формулу для скалярного произведения:
[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}| \cdot \cos(\theta)
]
[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 9 \cdot 16 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)
]
Шаг 3: Выполним расчеты
Сначала перемножим длины векторов:
[
9 \cdot 16 = 144
]
Теперь подставляем назад:
[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 144 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -72\sqrt{2}
]
Итог
Скалярное произведение ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} ) равно:
[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = -72\sqrt{2}
]
Таким образом, мы нашли скалярное произведение векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ).
