5+x= √2x+13
Давайте решим уравнение \(5 + x = \sqrt{2x + 13}\) шаг за шагом. Нам нужно найти значение \(x\).
Шаг 1: Изолируем квадратный корень
Начнем с того, что у нас есть уравнение:
\[ 5 + x = \sqrt{2x + 13} \]
Чтобы избавиться от квадратного корня, сначала возведем обе стороны уравнения в квадрат:
\[ (5 + x)^2 = (\sqrt{2x + 13})^2 \]
Шаг 2: Раскроем скобки
Раскроем скобки с левой стороны:
\[ (5 + x)^2 = 5^2 + 2 \cdot 5 \cdot x + x^2 = 25 + 10x + x^2 \]
Таким образом, у нас теперь есть:
\[ 25 + 10x + x^2 = 2x + 13 \]
Шаг 3: Переносим все в одну сторону
Переносим все элементы на одну сторону, чтобы получить нулевое уравнение:
\[ x^2 + 10x + 25 - 2x - 13 = 0 \]
Упрощаем:
\[ x^2 + 8x + 12 = 0 \]
Шаг 4: Решаем квадратное уравнение
Теперь мы можем решить квадратное уравнение \(x^2 + 8x + 12 = 0\) с помощью формулы корней квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Здесь \(a = 1\), \(b = 8\), \(c = 12\). Подставляем значения:
\[ x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1} \]
Считаем дискриминант:
\[ x = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2} \] \[ x = \frac{-8 \pm \sqrt{16}}{2} \] \[ x = \frac{-8 \pm 4}{2} \]
Шаг 5: Находим корни
Теперь решаем два случая:
- \(x = \frac{-8 + 4}{2} = \frac{-4}{2} = -2\)
- \(x = \frac{-8 - 4}{2} = \frac{-12}{2} = -6\)
Шаг 6: Проверяем корни
Так как мы возводили обе стороны в квадрат, нужно проверить, подходят ли найденные корни к исходному уравнению:
Для \(x = -2\): \[ 5 + (-2) = 3 \quad \text{и} \quad \sqrt{2 \cdot (-2) + 13} = \sqrt{-4 + 13} = \sqrt{9} = 3 \] Подходит.
Для \(x = -6\): \[ 5 + (-6) = -1 \quad \text{и} \quad \sqrt{2 \cdot (-6) + 13} = \sqrt{-12 + 13} = \sqrt{1} = 1 \] Не подходит.
Ответ:
Единственным решением является \(x = -2\).
