5+x= √2x+13

Давайте решим уравнение \(5 + x = \sqrt{2x + 13}\) шаг за шагом. Нам нужно найти значение \(x\). ### Шаг 1: Изолируем квадратный корень Начнем с того, что у нас есть уравнение: \[ 5 + x = \sqrt{2x + 13} \] Чтобы избавиться от квадратного корня, сначала возведем обе стороны уравнения в квадрат: \[ (5 + x)^2 = (\sqrt{2x + 13})^2 \] ### Шаг 2: Раскроем скобки Раскроем скобки с левой стороны: \[ (5 + x)^2 = 5^2 + 2 \cdot 5 \cdot x + x^2 = 25 + 10x + x^2 \] Таким образом, у нас теперь есть: \[ 25 + 10x + x^2 = 2x + 13 \] ### Шаг 3: Переносим все в одну сторону Переносим все элементы на одну сторону, чтобы получить нулевое уравнение: \[ x^2 + 10x + 25 - 2x - 13 = 0 \] Упрощаем: \[ x^2 + 8x + 12 = 0 \] ### Шаг 4: Решаем квадратное уравнение Теперь мы можем решить квадратное уравнение \(x^2 + 8x + 12 = 0\) с помощью формулы корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Здесь \(a = 1\), \(b = 8\), \(c = 12\). Подставляем значения: \[ x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1} \] Считаем дискриминант: \[ x = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2} \] \[ x = \frac{-8 \pm \sqrt{16}}{2} \] \[ x = \frac{-8 \pm 4}{2} \] ### Шаг 5: Находим корни Теперь решаем два случая: 1. \(x = \frac{-8 + 4}{2} = \frac{-4}{2} = -2\) 2. \(x = \frac{-8 - 4}{2} = \frac{-12}{2} = -6\) ### Шаг 6: Проверяем корни Так как мы возводили обе стороны в квадрат, нужно проверить, подходят ли найденные корни к исходному уравнению: 1. Для \(x = -2\): \[ 5 + (-2) = 3 \quad \text{и} \quad \sqrt{2 \cdot (-2) + 13} = \sqrt{-4 + 13} = \sqrt{9} = 3 \] Подходит. 2. Для \(x = -6\): \[ 5 + (-6) = -1 \quad \text{и} \quad \sqrt{2 \cdot (-6) + 13} = \sqrt{-12 + 13} = \sqrt{1} = 1 \] Не подходит. ### Ответ: Единственным решением является \(x = -2\).