f(x) = 5+12x-x3 найти первообразную

Чтобы найти первообразную функции \( f(x) = 5 + 12x - x^3 \), нужно проинтегрировать данную функцию. Первообразная функции — это функция, производная которой равна исходной функции.

Для начала разберем каждое слагаемое в функции:

1. Константа: \( 5 \)
2. Линейное слагаемое: \( 12x \)
3. Кубическое слагаемое: \( -x^3 \)

Теперь найдем первообразные для каждого из этих слагаемых по отдельности.

Шаг 1: Найдем первообразную для каждого слагаемого

1. Первообразная константы \( 5 \): \[ \int 5 \, dx = 5x \]

2. Первообразная для \( 12x \): \[ \int 12x \, dx = 12 \cdot \frac{x^2}{2} = 6x^2 \]

3. Первообразная для \( -x^3 \): \[ \int -x^3 \, dx = -\frac{x^4}{4} \]

Шаг 2: Соберем все первообразные

Теперь, объединим результаты, чтобы получить полную первообразную для функции \( f(x) \): \[ \int f(x) \, dx = 5x + 6x^2 - \frac{x^4}{4} + C \] где \( C \) — произвольная константа интегрирования.

Ответ

Таким образом, первообразная функции \( f(x) = 5 + 12x - x^3 \) равна: \[ F(x) = 5x + 6x^2 - \frac{x^4}{4} + C \]

Это и есть искомая первообразная функции.