номер 1.последовательность (an) -геометрическая прогресаия. найдите:а) а6, если a1=3 и q=2.б) a7, если a1=64 и q=-1/4. номер 2.найдите первый член геометрической прогрессии (bn),…

Давайте решим ваши задачи по геометрической прогрессии (ГП) шаг за шагом.

Задача 1: Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия - это такая последовательность, где каждый следующий элемент получается умножением предыдущего на постоянное число, называемое знаменателем прогрессии \( q \). Формула для \( n \)-го члена геометрической прогрессии выглядит так:

\[ a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)} \]

где:

• \( a_n \) — \( n \)-й член прогрессии,
• \( a_1 \) — первый член прогрессии,
• \( q \) — знаменатель прогрессии,
• \( n \) — номер члена.

a) Найдите \( a_6 \), если \( a_1 = 3 \) и \( q = 2 \).

1. Подставим известные значения в формулу: \[ a_6 = a_1 \cdot q^{(6-1)} = 3 \cdot 2^{5} \]

2. Вычислим \( 2^5 \): \[ 2^5 = 32 \]

3. Теперь вычислим \( a_6 \): \[ a_6 = 3 \cdot 32 = 96 \]

Итак, \( a_6 = 96 \).

б) Найдите \( a_7 \), если \( a_1 = 64 \) и \( q = -\frac{1}{4} \).

1. Подставим известные значения в формулу: \[ a_7 = a_1 \cdot q^{(7-1)} = 64 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)^{6} \]

2. Вычислим \( \left(-\frac{1}{4}\right)^{6} \). Поскольку степень четная, отрицательное число становится положительным: \[ \left(-\frac{1}{4}\right)^{6} = \frac{1}{4^6} = \frac{1}{4096} \]

3. Теперь вычислим \( a_7 \): \[ a_7 = 64 \cdot \frac{1}{4096} = \frac{64}{4096} = \frac{1}{64} \]

Итак, \( a_7 = \frac{1}{64} \).

Задача 2: Найдите первый член геометрической прогрессии \( b_n \), если \( b_6 = \frac{1}{27} \) и \( q = \frac{1}{3} \).

Используем ту же формулу для \( b_n \): \[ b_n = b_1 \cdot q^{(n-1)} \]

1. Подставим известные значения, чтобы найти \( b_1 \): \[ b_6 = b_1 \cdot q^{(6-1)} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{27} = b_1 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{5} \]

2. Вычислим \( \left(\frac{1}{3}\right)^{5} = \frac{1}{243} \): \[ \frac{1}{27} = b_1 \cdot \frac{1}{243} \]

3. Умножим обе стороны уравнения на 243: \[ b_1 = \frac{1}{27} \cdot 243 = 9 \]

Таким образом, первый член геометрической прогрессии \( b_1 = 9 \).

Итоги:

1. \( a_6 = 96 \)
2. \( a_7 = \frac{1}{64} \)
3. \( b_1 = 9 \)

Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!