(x^2-2x) (4x+2) > 0

Давайте решим неравенство \( (x^2 - 2x)(4x + 2) > 0 \) шаг за шагом.

Шаг 1: Нахождение корней каждого множителя

Сначала мы разложим каждый из множителей, чтобы найти их нули.

Множитель 1: \( x^2 - 2x \)

Этот полином можно упростить: \[ x^2 - 2x = x(x - 2) \] Теперь находим корни: \[ x = 0 \quad \text{и} \quad x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \] Итак, корни первого множителя: \( x = 0 \) и \( x = 2 \).

Множитель 2: \( 4x + 2 \)

Решим уравнение \( 4x + 2 = 0 \): \[ 4x = -2 \Rightarrow x = -\frac{1}{2} \] Корень второго множителя: \( x = -\frac{1}{2} \).

Шаг 2: Определение знаков на интервалах

Теперь у нас есть три корня: \( -\frac{1}{2}, 0, 2 \). Эти корни разделяют числовую прямую на 4 интервала:

1. \( (-\infty, -\frac{1}{2}) \)
2. \( (-\frac{1}{2}, 0) \)
3. \( (0, 2) \)
4. \( (2, +\infty) \)

Теперь будем проверять знак произведения \( (x^2 - 2x)(4x + 2) \) на каждом интервале.

Шаг 3: Проверка знаков на интервалах

1. Интервал \( (-\infty, -\frac{1}{2}) \):
   Выберем \( x = -1 \): \[ (-1)^2 - 2(-1) = 1 + 2 = 3 > 0 \quad \text{и} \quad 4(-1) + 2 = -4 + 2 = -2 < 0 \] Знак произведения: \( (3)(-2) < 0 \).

2. Интервал \( (-\frac{1}{2}, 0) \):
   Выберем \( x = -\frac{1}{4} \): \[ \left(-\frac{1}{4}\right)^2 - 2\left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{16} + \frac{1}{2} > 0 \quad \text{и} \quad 4(-\frac{1}{4}) + 2 = -1 + 2 = 1 > 0 \] Знак произведения: \( (+)(+) > 0 \).

3. Интервал \( (0, 2) \):
   Выберем \( x = 1 \): \[ 1^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1 < 0 \quad \text{и} \quad 4(1) + 2 = 4 + 2 = 6 > 0 \] Знак произведения: \( (-)(+) < 0 \).

4. Интервал \( (2, +\infty) \):
   Выберем \( x = 3 \): \[ 3^2 - 2(3) = 9 - 6 = 3 > 0 \quad \text{и} \quad 4(3) + 2 = 12 + 2 = 14 > 0 \] Знак произведения: \( (+)(+) > 0 \).

Шаг 4: Итоги

Теперь мы знаем знаки произведений на каждом интервале:

• \( (-\infty, -\frac{1}{2}) \): < 0
• \( (-\frac{1}{2}, 0) \): > 0
• \( (0, 2) \): < 0
• \( (2, +\infty) \): > 0

Шаг 5: Определение решений

Так как мы ищем, где произведение больше нуля:

• \( x \in (-\frac{1}{2}, 0) \)
• \( x \in (2, +\infty) \)

Ответ

Решение неравенства: \[ x \in \left(-\frac{1}{2}, 0\right) \cup (2, +\infty) \]

Это и есть ответ на ваше неравенство. Если есть дополнительные вопросы по объяснению или другим задачам, дайте знать!