(x^2-2x) (4x+2) > 0

Давайте решим неравенство \( (x^2 - 2x)(4x + 2) > 0 \) шаг за шагом. ### Шаг 1: Нахождение корней каждого множителя Сначала мы разложим каждый из множителей, чтобы найти их нули. #### Множитель 1: \( x^2 - 2x \) Этот полином можно упростить: \[ x^2 - 2x = x(x - 2) \] Теперь находим корни: \[ x = 0 \quad \text{и} \quad x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \] Итак, корни первого множителя: \( x = 0 \) и \( x = 2 \). #### Множитель 2: \( 4x + 2 \) Решим уравнение \( 4x + 2 = 0 \): \[ 4x = -2 \Rightarrow x = -\frac{1}{2} \] Корень второго множителя: \( x = -\frac{1}{2} \). ### Шаг 2: Определение знаков на интервалах Теперь у нас есть три корня: \( -\frac{1}{2}, 0, 2 \). Эти корни разделяют числовую прямую на 4 интервала: 1. \( (-\infty, -\frac{1}{2}) \) 2. \( (-\frac{1}{2}, 0) \) 3. \( (0, 2) \) 4. \( (2, +\infty) \) Теперь будем проверять знак произведения \( (x^2 - 2x)(4x + 2) \) на каждом интервале. ### Шаг 3: Проверка знаков на интервалах 1. **Интервал \( (-\infty, -\frac{1}{2}) \)**: Выберем \( x = -1 \): \[ (-1)^2 - 2(-1) = 1 + 2 = 3 > 0 \quad \text{и} \quad 4(-1) + 2 = -4 + 2 = -2 < 0 \] Знак произведения: \( (3)(-2) < 0 \). 2. **Интервал \( (-\frac{1}{2}, 0) \)**: Выберем \( x = -\frac{1}{4} \): \[ \left(-\frac{1}{4}\right)^2 - 2\left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{16} + \frac{1}{2} > 0 \quad \text{и} \quad 4(-\frac{1}{4}) + 2 = -1 + 2 = 1 > 0 \] Знак произведения: \( (+)(+) > 0 \). 3. **Интервал \( (0, 2) \)**: Выберем \( x = 1 \): \[ 1^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1 < 0 \quad \text{и} \quad 4(1) + 2 = 4 + 2 = 6 > 0 \] Знак произведения: \( (-)(+) < 0 \). 4. **Интервал \( (2, +\infty) \)**: Выберем \( x = 3 \): \[ 3^2 - 2(3) = 9 - 6 = 3 > 0 \quad \text{и} \quad 4(3) + 2 = 12 + 2 = 14 > 0 \] Знак произведения: \( (+)(+) > 0 \). ### Шаг 4: Итоги Теперь мы знаем знаки произведений на каждом интервале: - \( (-\infty, -\frac{1}{2}) \): < 0 - \( (-\frac{1}{2}, 0) \): > 0 - \( (0, 2) \): < 0 - \( (2, +\infty) \): > 0 ### Шаг 5: Определение решений Так как мы ищем, где произведение больше нуля: - \( x \in (-\frac{1}{2}, 0) \) - \( x \in (2, +\infty) \) ### Ответ Решение неравенства: \[ x \in \left(-\frac{1}{2}, 0\right) \cup (2, +\infty) \] Это и есть ответ на ваше неравенство. Если есть дополнительные вопросы по объяснению или другим задачам, дайте знать!