построить график y=-x3+x2+4

Для построения графика функции \( y = -x^3 + x^2 + 4 \) давай разберёмся с основными её характеристиками.

1. Найти критические точки

Сначала найдём производную функции:

\[ y = -x^3 + x^2 + 4 \]

Найдём её производную:

\[ y' = \frac{d}{dx}(-x^3 + x^2 + 4) = -3x^2 + 2x \]

Теперь найдём критические точки, приравняв производную к нулю:

\[ -3x^2 + 2x = 0 \]

Решим уравнение:

\[ x(-3x + 2) = 0 \]

Таким образом, \( x = 0 \) или \( x = \frac{2}{3} \).

2. Исследовать промежутки монотонности

Определим знаки производной на этих промежутках:

• Для \( x < 0 \): Подставив значение, например \( x = -1 \) в \( y' \), получаем \( y' = 3 - 2 = 1 > 0 \), значит функция возрастает.
• Для \( 0 < x < \frac{2}{3} \): Подставив значение, например, \( x = \frac{1}{2} \), получаем \( y' = -\frac{3}{4} + 1 = \frac{1}{4} > 0 \), функция возрастает.
• Для \( x > \frac{2}{3} \): Подставив значение, например \( x = 1 \), получаем \( y' = -3 + 2 = -1 < 0 \), функция убывает.

3. Найти точки экстремума

• В точке \( x = 0 \) производная не меняет знак, это не является экстремумом.
• В точке \( x = \frac{2}{3} \) функция переходит от возрастания к убыванию, это точка максимума.

4. Построение графика

1. Нарисуй координатную плоскость.
2. Отметь критические точки: \( (0, 4) \) и \( \left(\frac{2}{3}, y\left(\frac{2}{3}\right)\right) \).
3. Подставь \( x = \frac{2}{3} \) в исходную функцию, чтобы найти значение \( y \): \[ y\left(\frac{2}{3}\right) = -\left(\frac{2}{3}\right)^3 + \left(\frac{2}{3}\right)^2 + 4 = -\frac{8}{27} + \frac{4}{9} + 4 \] Вычисли это и отметь точку.
4. Изменение знаков производной показывает, как изменяется функция:
   • Возрастает на \(-\infty, \frac{2}{3}\)
   • Убывает на \(\frac{2}{3}, +\infty\)

Теперь можно построить график, учитывая поведение функции на полученных интервалах.