Реши задачу с дано

Для решения задачи найдем объём конуса. Дано:

• Площадь боковой поверхности \( S_{\text{б}} = 20 \, \text{см}^2 \)
• Площадь основания \( S_{\text{осн}} \) на 4 \(\text{см}^2\) меньше, \( S_{\text{осн}} = 16 \, \text{см}^2 \)

Найти: объём конуса \( V \).

Шаг 1: Площадь боковой поверхности конического основания

Формула площади боковой поверхности конуса:

\[ S_{\text{б}} = \pi r l \]

Где:

• \( r \) — радиус основания конуса,
• \( l \) — образующая.

Шаг 2: Площадь основания конуса

Площадь основания:

\[ S_{\text{осн}} = \pi r^2 = 16 \, \text{см}^2 \]

Найдём \( r \):

\[ r^2 = \frac{16}{\pi} \quad \Rightarrow \quad r = \sqrt{\frac{16}{\pi}} \]

Шаг 3: Найдём образующую \( l \)

Составим уравнение для нахождения \( l \):

\[ S_{\text{б}} = \pi r l = 20 \, \text{см}^2 \]

Подставим найденное \( r \):

\[ 20 = \pi \cdot \sqrt{\frac{16}{\pi}} \cdot l \]

Решим уравнение:

\[ 20 = \sqrt{16\pi} \cdot l \quad \Rightarrow \quad l = \frac{20}{\sqrt{16\pi}} = \frac{20}{4\sqrt{\pi}} = \frac{5}{\sqrt{\pi}} \]

Шаг 4: Найдём высоту конуса \( h \)

Используем теорему Пифагора для нахождения высоты:

\[ l^2 = r^2 + h^2 \]

Подставим известные значения:

\[ \left(\frac{5}{\sqrt{\pi}}\right)^2 = \frac{16}{\pi} + h^2 \]

\[ \frac{25}{\pi} = \frac{16}{\pi} + h^2 \quad \Rightarrow \quad h^2 = \frac{9}{\pi} \quad \Rightarrow \quad h = \frac{3}{\sqrt{\pi}} \]

Шаг 5: Найдём объём конуса

Объём конуса:

\[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \]

Подставим значения:

\[ V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{16}{\pi}\right) \cdot \frac{3}{\sqrt{\pi}} \]

\[ V = \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot \frac{3}{\sqrt{\pi}} \]

Сократим:

\[ V = 16 \]

Ответ: объём конуса равен \( 16 \, \text{см}^3 \).